Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:
integralgamma x y d s ; c: x=t, y=t ; 0 <= t <= 1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar f(x,y)=xy ao longo da curva gamma dada por
x(t)=t, y(t)=t, 0<= t<=1
Para resolver, vamos usar a parametrização r(t)=(t,t) e a fórmula
ds=raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas da parametrização:
tfracdxdt=1, tfracdydt=1
Logo,
ds=raiz1^2+1^2,dt=raiz2,dt

Passo 3

Substituindo x=t, y=t e ds=raiz2,dt na integral, obtemos
integralgammaxy,ds =integral0^1l(tcdot tr)raiz2,dt =raiz2integral0^1t^2,dt

Passo 4

Calculamos a integral de t^2:
integral0^1t^2,dt=13
Portanto,
integralgammaxy,ds =raiz2cdot13 =raiz23

Resposta

raiz23

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