5.2A Verifique se a função dada é ou não solução da e d o indicada:
y=12(e^x-e^-x) ; y^(4)-y=x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = 12l(e^x - e^-xr)
e pede para verificar se ela satisfaz a equação diferencial
y^(4) - y = x
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas sucessivas e substituição na EDO para checar se a igualdade vale.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de y até a quarta ordem:
– Primeira derivada:
y' = 12l(e^x + e^-xr)
– Segunda derivada:
y'' = 12l(e^x - e^-xr) = y
– Terceira derivada:
y''' = y' = 12l(e^x + e^-xr)
– Quarta derivada:
y^(4) = y'' = 12l(e^x - e^-xr) = y

Passo 3

Substituindo na EDO y^(4) - y, obtemos
y^(4) - y = y - y = 0

Passo 4

A EDO exige que y^(4) - y = x, mas encontramos y^(4) - y = 0, que só seria igual a x se xequiv0. Logo, em geral
y^(4) - y neq x,
portanto a função dada não é solução da EDO.

Resposta

A função não satisfaz y^(4) - y = x, logo não é solução da equação diferencial indicada.

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