Seja
com
para todo
e
.
(a) Mostre que existe
.
(b) Mostre que
é derivável em
e obtenha
em função de
e
.
(c) Dado
, calcule a derivada de
para
. Mostre que não existe
.
(a) Mostre que existe
(b) Mostre que
(c) Dado
Passo 1
O enunciado considera uma função
com
,
em
e
. Precisamos (a) mostrar que existe a inversa
, (b) provar que ela é derivável e obter
em termos de
e
, e (c) aplicar esse resultado ao caso
.
Passo 2
Por hipótese
é contínua (é
) e estritamente crescente (pois
). Além disso
Logo
é bijetora de
em
. Para cada
existe único
tal que
. Definimos
Isso mostra a existência e unicidade de
.
Passo 3
Como
e
, o teorema da função inversa garante que
é
em
. Para achar
usamos a identidade
Derivando em função de
e aplicando a regra da cadeia obtemos
Portanto
Passo 4
No caso
em
, vemos que
é invertível com
. Diretamente pela regra de potência:
Para
o expoente
é negativo, logo
Isso mostra que não existe limite finito de
quando
.
Resposta
(a) Existe única inversa
porque
é contínua e estritamente crescente de
em
.
(b) Em vale
(b) Em
(c) Para
tem-se
e
logo o limite não existe como número finito.