Seja f:[0,+infty) longrightarrow[0,+infty) com f(0)=0, f^prime(x)>0 para todo x in(0,+infty) e lim x +infty f(x)=+infty.
(a) Mostre que existe f^-1:[0,+infty) longrightarrow[0,+infty).
(b) Mostre que f^-1 é derivável em (0,+infty) e obtenha (f^-1)^prime em função de f^prime e f^-1.
(c) Dado n in N^*, calcule a derivada de g(x)=raiz[n]x para x>0. Mostre que não existe lim x 0^+ g^prime(x).

Passo 1

O enunciado considera uma função f:[0,+infty)to[0,+infty) com f(0)=0, f'(x)>0 em (0,+infty) e limxto+inftyf(x)=+infty. Precisamos (a) mostrar que existe a inversa f^-1, (b) provar que ela é derivável e obter (f^-1)' em termos de f' e f^-1, e (c) aplicar esse resultado ao caso g(x)=raiz[n]x=x^1/n.

Passo 2

Por hipótese f é contínua (é C^1) e estritamente crescente (pois f'>0). Além disso
f(0)=0 e limxto+inftyf(x)=+infty
Logo f é bijetora de [0,+infty) em [0,+infty). Para cada y>=0 existe único x>=0 tal que f(x)=y. Definimos
f^-1(y)=x
Isso mostra a existência e unicidade de f^-1:[0,+infty)to[0,+infty).

Passo 3

Como fin C^1 e f'(x)>0, o teorema da função inversa garante que f^-1 é C^1 em (0,+infty). Para achar (f^-1)' usamos a identidade
fl(f^-1(y)r)=y
Derivando em função de y e aplicando a regra da cadeia obtemos
f'l(f^-1(y)r),l(f^-1r)'(y)=1
Portanto
boxed(f^-1)'(y)=1f'l(f^-1(y)r)

Passo 4

No caso g(x)=x^1/n em x>0, vemos que g é invertível com g'(x)>0. Diretamente pela regra de potência:
boxedg'(x)=1n,x^1n-1
Para xto0^+ o expoente tfrac1n-1=-tfracn-1n é negativo, logo
limxto0^+g'(x) =limxto0^+1n,x^-n-1n =+infty
Isso mostra que não existe limite finito de g'(x) quando xto0^+.

Resposta

(a) Existe única inversa f^-1:[0,+infty)to[0,+infty) porque f é contínua e estritamente crescente de [0,infty) em [0,infty).
(b) Em (0,+infty) vale
(f^-1)'(y)=1f'l(f^-1(y)r)
(c) Para g(x)=x^1/n tem-se
g'(x)=1n,x^1n-1,
e
limxto0^+g'(x)=+infty,
logo o limite não existe como número finito.

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