(a) Se escolhermos , a função é contínua no ponto ?
(a) Para e , temos que , enquanto
pois sen , e como é limitado e tende a zero, temos o resultado pelo teorema do confronto. Portanto, como , a função não é contínua no ponto .
(b) Determine e para que seja diferenciável no ponto .
(b) Para ser diferenciável, devemos ter
Temos que para o limite acima existir. Por outro lado o limite
pelo limite fundamental e pelo teorema do confronto. Portanto e $b=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 4x - b, & x>=0, sin(a x) + x^2cosl(5/xr), & x<0
Queremos (a) testar continuidade em x=0 para a=0, b=1 e (b) achar a,b tais que f seja diferenciável em 0. Para isso vamos usar limites laterais e definição de derivada.

Passo 2

Tomando a=0 e b=1, temos
f(0)=4cdot0 - 1 = -1
Pela esquerda,
limxto0^-f(x) =limxto0^-l(sin(0cdot x)+x^2cos(5/x)r) =limxto0^-x^2cos(5/x)=0,
pois cos(5/x) é limitado e x^2to0. Como
limxto0^-f(x)=0neq f(0)=-1,
a função não é contínua em x=0.

Passo 3

Para diferenciar em 0 primeiro é preciso continuidade em 0. Do lado direito f(0)=4cdot0-b=-b. Do lado esquerdo
limxto0^-f(x) =limxto0^-l(sin(a x)+x^2cos(5/x)r) =0
Logo para continuidade -b=0, ou seja,
b=0

Passo 4

Com b=0, a derivada pela direita é
limhto0^+f(h)-f(0)h =limhto0^+4h-0-0h =4

Passo 5

A derivada pela esquerda, com b=0, é
limhto0^-f(h)-f(0)h =limhto0^-sin(a h)+h^2cos(5/h)-0h =limhto0^-sin(a h)h+limhto0^-hcos(5/h) =a+0 =a

Passo 6

Igualando as derivadas lateral direita e esquerda, 4=a. Portanto
a=4, b=0

Resposta

(a) Não. Para a=0, b=1 a função não é contínua em x=0.
(b) Para que f seja diferenciável em 0 é necessário
a=4, b=0

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