(a) Se escolhermos , a função
é contínua no ponto
?
(a) Para
e
, temos que
, enquanto
pois sen
, e como
é limitado e
tende a zero, temos o resultado pelo teorema do confronto. Portanto, como
, a função não é contínua no ponto
.
(b) Determine
e
para que
seja diferenciável no ponto
.
(b) Para ser diferenciável, devemos ter
Temos que
para o limite
acima existir. Por outro lado o limite
pelo limite fundamental e pelo teorema do confronto. Portanto
e $b=0.
(b) Determine
(b) Para ser diferenciável, devemos ter
Passo 1
O enunciado define a função
Queremos (a) testar continuidade em
para
,
e (b) achar
tais que
seja diferenciável em
. Para isso vamos usar limites laterais e definição de derivada.
Passo 2
Tomando
e
, temos
Pela esquerda,
pois
é limitado e
. Como
a função não é contínua em
.
Passo 3
Para diferenciar em
primeiro é preciso continuidade em
. Do lado direito
. Do lado esquerdo
Logo para continuidade
, ou seja,
Passo 4
Com
, a derivada pela direita é
Passo 5
A derivada pela esquerda, com
, é
Passo 6
Igualando as derivadas lateral direita e esquerda,
. Portanto
Resposta
(a) Não. Para
,
a função não é contínua em
.
(b) Para que seja diferenciável em
é necessário
(b) Para que