(0,5) Suponha que f:(a, b) longrightarrow R é limitada, derivável e que não exista lim x b^- f(x). Prove que sup x in(a, b)|f^prime(x)|=+infty.

Passo 1

O enunciado diz que f:(a,b)toR é derivável e limitada em (a,b) e que não existe limxto b^-f(x). Vamos mostrar que isso obriga
supxin(a,b)l|f'(x)r| = +infty
O instrumento principal será o Teorema do Valor Médio (TVM) e a ideia de que derivada limitada implica que f é Lipschitz (e, portanto, estende-se continuamente até b).

Passo 2

Suponha, por contradição, que
supxin(a,b)l|f'(x)r| = M < +infty
Ou seja, existe M tal que l|f'(x)r|<= M para todo xin(a,b).

Passo 3

Sejam x,yin(a,b) com x<y. Aplicando o Teorema do Valor Médio no intervalo [x,y], existe cin(x,y) tal que
f(y)-f(x) = f'(c),(y-x)
Então
lvert f(y)-f(x)rvert = l|f'(c)r|;lvert y-xrvert <= M,lvert y-xrvert
Isso mostra que f é M-\nobreakdash Lipschitz em (a,b), logo é uniformemente contínua.

Passo 4

Escolha qualquer sequência (xn)subset(a,b) que tenda a b pela esquerda. Como xnto b^-, temos xm,xn arbitrariamente próximos quando m,n são grandes. Pela Lipschitz
lvert f(xm)-f(xn)rvert <= M,lvert xm-xnrvert;xrightarrow[m,ntoinfty]0,
ou seja, l(f(xn)r) é uma sequência de Cauchy em R e, portanto, converge a algum limite L. Como qualquer outra sequência que tende a b também gera valores de f convergentes a L, concluímos que
limxto b^-f(x) = L
existe — contradizendo a hipótese de que esse limite não existe.

Passo 5

Da contradição, segue que a suposição supxin(a,b)lvert f'(x)rvert<+infty é falsa. Logo
supxin(a,b)l|f'(x)r| = +infty

Resposta

supxin(a,b)l|f'(x)r|=+infty.

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