(0,5) Suponha que é limitada, derivável e que não exista . Prove que .
Passo 1
O enunciado diz que é derivável e limitada em e que não existe . Vamos mostrar que isso obriga
O instrumento principal será o Teorema do Valor Médio (TVM) e a ideia de que derivada limitada implica que f é Lipschitz (e, portanto, estende-se continuamente até b).
Passo 2
Suponha, por contradição, que
supxin(a,b)l|f'(x)r| = M < +infty
Ou seja, existe M tal que l|f'(x)r|<= M para todo xin(a,b).
Passo 3
Sejam x,yin(a,b) com x<y. Aplicando o Teorema do Valor Médio no intervalo [x,y], existe cin(x,y) tal que
Isso mostra que f é M-\nobreakdash Lipschitz em (a,b), logo é uniformemente contínua.
Passo 4
Escolha qualquer sequência (xn)subset(a,b) que tenda a b pela esquerda. Como xnto b^-, temos xm,xn arbitrariamente próximos quando m,n são grandes. Pela Lipschitz
ou seja, l(f(xn)r) é uma sequência de Cauchy em R e, portanto, converge a algum limite L. Como qualquer outra sequência que tende a b também gera valores de f convergentes a L, concluímos que
limxto b^-f(x) = L
existe — contradizendo a hipótese de que esse limite não existe.
Passo 5
Da contradição, segue que a suposição supxin(a,b)lvert f'(x)rvert<+infty é falsa. Logo