5.2A Verifique se a função dada é ou não solução da e d o indicada:
y=C1 sen 2 x+C2 cos 2 x ; y^prime prime+4 y=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função ,y=C1sin 2x + C2cos 2x, e pede para verificar se ela satisfaz a equação diferencial
y'' + 4y = 0
O conteúdo é solução de EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para isso, vamos calcular as derivadas de y e, em seguida, substituir na equação, conferindo se o resultado é zero.

Passo 2

Calcular y' e y''. Primeiro,
y' = ddxl(C1sin 2x + C2cos 2xr) = C1cdot 2cos 2x ;-; C2cdot 2sin 2x = 2C1cos 2x ;-; 2C2sin 2x
Em seguida,
y'' = ddxl(2C1cos 2x - 2C2sin 2xr) = -4C1sin 2x ;-; 4C2cos 2x

Passo 3

Substituir na equação y'' + 4y = 0:
y'' + 4y = l(-4C1sin 2x - 4C2cos 2xr) + 4l(C1sin 2x + C2cos 2xr)
Agrupando termos semelhantes:
-4C1sin 2x + 4C1sin 2x = 0, -4C2cos 2x + 4C2cos 2x = 0,
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y'' + 4y = 0

Resposta

A função ,y=C1sin 2x + C2cos 2x, satisfaz a EDO ,y'' + 4y = 0; ou seja, é solução da equação.

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