Usando o Teorema do Confronto, mostre que lim x 0 raiz[3]x 2^cos pix=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0 raiz[3]x,2^cospix
usando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Aqui vamos usar que cos t oscila entre -1 e 1, logo 2^cos t fica num intervalo fixo, enquanto raiz[3]xto0 quando xto0.

Passo 2

Como para todo tinR temos
-1 <= cos t <= 1,
eleva-se 2 em cada membro para obter
2^-1 <= 2^cos t <= 2^1,
isto é,
12 <= 2^cos t <= 2
Em particular,
12 <= 2^cospi x <= 2 forall xneq0

Passo 3

Multiplicando a desigualdade acima por raiz[3]x, e lembrando que 2^cos(pi/x)>0, deduzimos que
l|raiz[3]x,2^cospi xr| =|raiz[3]x|;2^cospi x <= |raiz[3]x|cdot 2
Portanto
-2,|raiz[3]x|;<=; raiz[3]x,2^cospi x ;<=;2,|raiz[3]x|

Passo 4

Sabemos que
limxto02,|raiz[3]x| =2cdot0=0 e limxto0-2,|raiz[3]x|=0
Assim as funções de limite inferior e superior tendem a zero.

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, como
-2,|raiz[3]x|;<=; raiz[3]x,2^cospi x ;<=;2,|raiz[3]x|
e ambas as extremas vão a 0 quando xto0, concluímos que
limxto0raiz[3]x,2^cospi x=0

Resposta

0

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