Exercício 5. Seja T: R^n longrightarrow R^m uma aplicação linear. Mostre que, para todo x in R^n, tem-se
T^prime(x)=T in L(R^n, R^m)
Este exercício justifica a afirmação trivial de que, sendo T in L(R^n, R^m), a melhor aproximação afim para T em torno de um ponto x in R^n é obtida a partir da própria transformação T, que já é linear.
Dica: Não há o que provar pois o resto, sendo identicamente nulo, trivialmente vai para zero. O caso especial de funcionais lineares é considerado no exercício anterior.

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação linear
;T:R^ntoR^m
e pede para mostrar que, para todo xinR^n, a derivada de T em x, definida via o conceito de diferenciabilidade em R^n, é justamente T de novo.
Para isso, lembramos que dizer que T é diferenciável em x significa que existe uma aplicação linear
;A:R^ntoR^m
e uma função resto r(h) tal que
T(x+h)-T(x)=A(h)+r(h)
com
limhto0|r(h)||h|=0
A derivada T'(x) é justamente este A.

Passo 2

Como T já é linear, vale para todo x,hinR^n:
T(x+h)=T(x)+T(h)
Portanto, se escolhemos
A = T,
então o resto
r(h)=T(x+h)-T(x)-A(h)
fica
r(h)=l(T(x)+T(h)r)-T(x)-T(h)=0

Passo 3

Como r(h)=0 para todo h, temos
|r(h)||h|=0 e limhto0|r(h)||h|=0
Isso mostra que T é diferenciável em x e que a aplicação linear que define a derivada é A=T.

Resposta

Para todo xinR^n,
T'(x)=T

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