Exercício 5. Seja
uma aplicação linear. Mostre que, para todo
, tem-se
Este exercício justifica a afirmação trivial de que, sendo
, a melhor aproximação afim para
em torno de um ponto
é obtida a partir da própria transformação
, que já é linear.
Dica: Não há o que provar pois o resto, sendo identicamente nulo, trivialmente vai para zero. O caso especial de funcionais lineares é considerado no exercício anterior.
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação linear
e pede para mostrar que, para todo
, a derivada de
em
, definida via o conceito de diferenciabilidade em
, é justamente
de novo.
Para isso, lembramos que dizer que é diferenciável em
significa que existe uma aplicação linear
e uma função resto tal que
Para isso, lembramos que dizer que
e uma função resto
com
A derivada
é justamente este
.
Passo 2
Como
já é linear, vale para todo
:
Portanto, se escolhemos
então o resto
fica
Passo 3
Como
para todo
, temos
Isso mostra que
é diferenciável em
e que a aplicação linear que define a derivada é
.
Resposta
Para todo
,