Exercício 17. (F. 7.4, ex.1) Calcule as seguintes transformadas de Fourier seno e cosseno:
Fc(e^-k x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as transformadas de Fourier cosseno e seno da função f(x)=e^-k x (com k>0) definidas em x>=0. Para isso, vamos usar as definições
Fcf(omega)=integral0^inftyf(x)cos(omega x),dx,
Fsf(omega)=integral0^inftyf(x)sin(omega x),dx

Passo 2

Recordamos o resultado padrão de integral imprópria: para Re(a)>0 e binR,
integral0^inftye^-a xcos(b x),dx=aa^2+b^2
Aqui faremos a=k e b=omega.

Passo 3

Aplicando o caso acima com a=k e b=omega, obtemos
Fce^-k x(omega) =integral0^inftye^-k xcos(omega x),dx =kk^2+omega^2

Passo 4

Para a transformada de seno, usamos outra integral conhecida:
integral0^inftye^-a xsin(b x),dx =ba^2+b^2
Novamente com a=k e b=omega.

Passo 5

Logo,
Fse^-k x(omega) =integral0^inftye^-k xsin(omega x),dx =omegak^2+omega^2

Resposta

Fce^-k x(omega)=kk^2+omega^2,
Fse^-k x(omega)=omegak^2+omega^2

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