Q. . Com o uso de derivadas obtenha uma fórmula para cálculos aproximados e faça uma aproximação para , comparando com o valor real calculado com uso de uma calculadora.
Passo 1
O enunciado pede para usarmos derivadas a fim de obter uma fórmula de aproximação (linearização) e, em seguida, aplicar essa fórmula para aproximar . O conteúdo envolvido é o de diferencial de uma função e linearização usando a derivada em torno de um ponto em que o valor da função seja conhecido exatamente.
Passo 2
Seja . A linearização de em torno de um ponto é dada por
Aqui e
logo
Passo 3
Para aproximar escolhemos , pois é exato. Definimos . Assim
Passo 4
Calculando
Portanto, a aproximação por linearização é .
Passo 5
Comparando com o valor real obtido na calculadora, , vemos que o erro da aproximação é
ou seja, uma boa precisão para um cálculo rápido.
Resposta
A fórmula de aproximação (linearização) é
raizxapprox raiza + x-a2raiza,
e, para a=49 e x=50, obtemos
raiz50approx 7 + 114=7,07143,
com erro em torno de 0,00037 em relação a 7,07106.