Q. 5(2,0). Com o uso de derivadas obtenha uma fórmula para cálculos aproximados e faça uma aproximação para raiz50, comparando com o valor real (7,07106) calculado com uso de uma calculadora.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos derivadas a fim de obter uma fórmula de aproximação (linearização) e, em seguida, aplicar essa fórmula para aproximar raiz50. O conteúdo envolvido é o de diferencial de uma função e linearização usando a derivada em torno de um ponto em que o valor da função seja conhecido exatamente.

Passo 2

Seja f(x)=raizx. A linearização de f em torno de um ponto a>0 é dada por
f(x)approx f(a)+f'(a),(x-a)
Aqui f(a)=raiza e
f'(x)=12raizx,
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f'(a)=12raiza

Passo 3

Para aproximar raiz50 escolhemos a=49, pois raiz49=7 é exato. Definimos De<a x = 50 - 49 = 1. Assim
raiz50 = f(49 + De<a x)approx f(49) + f'(49),De<a x = 7 + 12cdot7cdot1

Passo 4

Calculando
7 + 114 = 7 + 0,0714285ldots = 7,0714285ldots
Portanto, a aproximação por linearização é raiz50approx 7,07143.

Passo 5

Comparando com o valor real obtido na calculadora, 7,07106, vemos que o erro da aproximação é
l|7,07143 - 7,07106r|approx 0,00037,
ou seja, uma boa precisão para um cálculo rápido.

Resposta

A fórmula de aproximação (linearização) é
raizxapprox raiza + x-a2raiza,
e, para a=49 e x=50, obtemos
raiz50approx 7 + 114=7,07143,
com erro em torno de 0,00037 em relação a 7,07106.

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