5.2A Verifique se a função dada é ou não solução da e d o indicada:
y=(x^2-1)^-1 ; y^prime+2 x y^2=0, -1<x<1.

Passo 1

O enunciado fornece a EDO
y' + 2x,y^2 = 0
e a função candidata
y = (x^2 - 1)^-1,
definida em -1<x<1. O que precisamos fazer é calcular y', substituir na EDO e verificar se a soma fica zero no intervalo dado.

Passo 2

Calcular a derivada de
y = (x^2 - 1)^-1
Usando a regra da cadeia e a potenciação, temos
y' = -1cdot(x^2-1)^-2cdotddx(x^2-1) = -1cdot(x^2-1)^-2cdot 2x = -2x(x^2-1)^2

Passo 3

Calcular o termo 2x,y^2. Como y=(x^2-1)^-1, então
y^2 = (x^2-1)^-2
e
2x,y^2 = 2x,(x^2-1)^-2 = 2x(x^2-1)^2

Passo 4

Substituir y' e 2x,y^2 na EDO:
y' + 2x,y^2 = l(-2x(x^2-1)^2r) + 2x(x^2-1)^2 = 0
Como a soma é zero para todo x em (-1,1), a EDO é satisfeita.

Resposta

A função y=(x^2-1)^-1 é solução da EDO y' + 2x,y^2 = 0 no intervalo -1<x<1.

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