Utilizando técnicas de integração, determine:
(1,5) integrale^e^2 f(2 ln x)x d x, sendo f contínua tal que integral2^4 f(x) d x=3.

Passo 1

O enunciado nos pede calcular
integrale^e^2 f(2ln x)x,dx
sabendo que f é contínua e que
integral2^4 f(x),dx = 3
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integrais definidas.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2ln x
Como ddx(ln x)=1x, temos
du = 2,1x,dx Longrightarrow 1x,dx = du2

Passo 3

Transformamos os limites de integração:
quando x=e,
u = 2ln(e) = 2cdot1 = 2;
quando x=e^2,
u = 2lnl(e^2r) = 2cdot2 = 4

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integrale^e^2 f(2ln x)x,dx = integralu=2^4 f(u),du2 = 12integral2^4 f(u),du

Passo 5

Como sabemos que integral2^4 f(u),du = 3, segue
12integral2^4 f(u),du = 12cdot 3 = 32

Resposta

32

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