Q.
. Seja
uma função contínua, com
também contínua. Encontre a função
sabendo que
e que ela satisfaz a equação
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma função contínua
(com
contínua) tal que
e que satisfaça a condição inicial . Vamos usar diferenciação para relacionar
com funções trigonométricas e depois integrar para achar
.
e que satisfaça a condição inicial
Passo 2
Diferenciando ambos os lados em relação a
, o lado esquerdo fica
e o direito
Logo, obtemos a igualdade
Passo 3
Isolando
, usamos
, daí
Passo 4
Agora integramos termo a termo:
Para
, faça
,
:
E
. Assim
Passo 5
Usamos
. Como
e
,
Portanto,