Q. 2(1,0). Seja f(x) uma função contínua, com f^prime(x) também contínua. Encontre a função f(x) sabendo que f(pi)=2 e que ela satisfaz a equação integral f^prime(x) tg(x) d x=sen^3(x)-cos (x)+C.

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma função contínua f (com f' contínua) tal que
integral f'(x)tan(x),dx = sin^3(x)-cos(x)+C
e que satisfaça a condição inicial f(pi)=2. Vamos usar diferenciação para relacionar f' com funções trigonométricas e depois integrar para achar f.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, o lado esquerdo fica
ddx!gl(integral f'(x)tan(x),dxgr) = f'(x),tan(x),
e o direito
ddxl(sin^3(x)-cos(x)+Cr) =3sin^2(x)cos(x)+sin(x)
Logo, obtemos a igualdade
f'(x),tan(x)=3sin^2(x)cos(x)+sin(x)

Passo 3

Isolando f'(x), usamos tan(x)=sin(x)cos(x), daí
f'(x) =l(3sin^2(x)cos(x)+sin(x)r)cos(x)sin(x) =3sin(x)cos^2(x)+cos(x)

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
f(x) =integrall(3sin(x)cos^2(x)+cos(x)r),dx +K
Para integral3sin(x)cos^2(x),dx, faça u=cos(x), du=-sin(x),dx:
integral3sin(x)cos^2(x),dx =-3integral u^2,du =-u^3+rm const =-cos^3(x)+rm const
E integralcos(x),dx=sin(x). Assim
f(x)=-cos^3(x)+sin(x)+K

Passo 5

Usamos f(pi)=2. Como cos(pi)=-1 e sin(pi)=0,
f(pi)=-(-1)^3+0+K=1+K=2 ;Longrightarrow;K=1
Portanto,
f(x)=sin(x)-cos^3(x)+1

Resposta

f(x)=sin(x)-cos^3(x)+1.

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