5.2A Verifique se a função dada é ou não solução da e d o indicada:
x=C1 sen 1t+C2 cos 1t ; dd t(t^2 dotx)+1t^2 x=0, t>0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
x(t)=C1,sin!l(tfrac1tr)+C2,cos!l(tfrac1tr)
e pede para verificar se ela satisfaz a equação diferencial
ddtl(t^2dot xr)+1t^2,x=0, t>0
Vamos diferenciar passo a passo e substituir na equação.

Passo 2

Calcular a derivada primeira dot x. Usando regra da cadeia em cada termo:
dot x =ddtl(C1sin(tfrac1t)r) +ddtl(C2cos(tfrac1t)r)
Como ddtsin(tfrac1t)=cos(tfrac1t)cdot(-tfrac1t^2) e ddtcos(tfrac1t)=-sin(tfrac1t)cdot(-tfrac1t^2), segue
dot x =-C1,cos(tfrac1t)t^2 ;+;C2,sin(tfrac1t)t^2

Passo 3

Multiplicar por t^2:
t^2dot x =-C1,cos!l(tfrac1tr) ;+;C2,sin!l(tfrac1tr)

Passo 4

Diferenciar t^2dot x em relação a t:
ddtl(t^2dot xr) =-C1ddtcos(tfrac1t) ;+;C2ddtsin(tfrac1t)
Aplicando novamente a regra da cadeia, obtemos
ddtl(t^2dot xr) =-C1,sin(tfrac1t)t^2 ;-;C2,cos(tfrac1t)t^2 =-1t^2l(C1sin(tfrac1t)+C2cos(tfrac1t)r)

Passo 5

Reconhecemos que C1sin(tfrac1t)+C2cos(tfrac1t)=x(t). Então
ddtl(t^2dot xr) =-xt^2

Passo 6

Substituindo na equação original:
ddtl(t^2dot xr)+1t^2,x =-xt^2+xt^2=0
Portanto, a função dada satisfaz identicamente a equação diferencial.

Resposta

A função x(t)=C1sin(tfrac1t)+C2cos(tfrac1t) é solução da equação
ddtl(t^2dot xr)+1t^2,x=0, t>0

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