Exercício 17. (F. 7.4, ex.1) Calcule as seguintes transformadas de Fourier seno e cosseno:
Fs(x e^-k x)

Passo 1

O enunciado pede as transformadas de Fourier cosseno e seno da função
f(x)=x,e^-k x para x>=0 e k>0.
Para isso precisamos da definição padrão sem fatores de normalização:
Fcf(omega) =integral0^inftyf(x),cos(omega x),dx, Fsf(omega) =integral0^inftyf(x),sin(omega x),dx
Também usaremos as integrais conhecidas
integral0^inftye^-k xcos(omega x),dx =kk^2+omega^2, integral0^inftye^-k xsin(omega x),dx =omegak^2+omega^2,
e a propriedade de derivação em relação a k:
integral0^inftyx,e^-k x,phi(x),dx =-partialpartial k integral0^inftye^-k x,phi(x),dx

Passo 2

Cálculo de Fcx e^-k x(omega).
Começamos de
integral0^inftye^-k xcos(omega x),dx =kk^2+omega^2
Logo
integral0^inftyx,e^-k xcos(omega x),dx =-partialpartial k l(kk^2+omega^2r)
Agora derivamos:
partialpartial k l(kk^2+omega^2r) =(k^2+omega^2)-2k^2(k^2+omega^2)^2 =omega^2-k^2(k^2+omega^2)^2
Portanto
boxed Fcx e^-k x(omega) =k^2-omega^2(,k^2+omega^2,)^2

Passo 3

Cálculo de Fsx e^-k x(omega).
Partimos de
integral0^inftye^-k xsin(omega x),dx =omegak^2+omega^2,
e usamos a mesma propriedade:
integral0^inftyx,e^-k xsin(omega x),dx =-partialpartial k l(omegak^2+omega^2r)
Derivando em k:
partialpartial k l(omegak^2+omega^2r) =-2k,omega(k^2+omega^2)^2,
logo o sinal menos dá
boxed Fsx e^-k x(omega) =2,k,omega(,k^2+omega^2,)^2

Resposta

Fcx e^-k x(omega) =k^2-omega^2(k^2+omega^2)^2
Fsx e^-k x(omega) =2,k,omega(k^2+omega^2)^2

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