Determine:
(1,0) Encontre a linearização da função f(x)=(1+3 x)^5 cdot(1-x+2 x^2)^3 em a=0

Passo 1

O enunciado pede a linearização de
f(x) = (1+3x)^5,l(1 - x + 2x^2r)^3
em a=0. A linearização é a aproximação de primeira ordem (reta tangente) dada por
L(x)=f(0)+f'(0),(x-0),
Para isso precisamos de f(0) e de f'(0).

Passo 2

Calcular f(0). Basta substituir x=0 em cada fator:
f(0)=(1+3cdot0)^5,(1-0+2cdot0^2)^3=1^5cdot1^3=1

Passo 3

Para f'(x) usamos a regra do produto. Definimos
g(x)=(1+3x)^5, h(x)=(1 - x + 2x^2)^3,
então
f'(x)=g'(x),h(x)+g(x),h'(x)
Agora calculamos cada derivada:
g'(x)=5,(1+3x)^4cdot3=15,(1+3x)^4,
h'(x)=3,(1 - x + 2x^2)^2cdot(-1+4x)

Passo 4

Avaliar em x=0:
g'(0)=15,(1)^4=15, h(0)=1, g(0)=1, h'(0)=3,(1)^2cdot(-1)=-3
Logo
f'(0)=g'(0),h(0)+g(0),h'(0)=15cdot1+1cdot(-3)=12
A linearização fica
L(x)=f(0)+f'(0),x=1+12x

Resposta

L(x)=1+12x

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