Explicite as derivadas de a. f(x)=tan x; b. f(x)=cot x ; c. f(x)=sec x ; d. f(x)=cosec x
f(x)=cot (3 x^2+5).

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas das funções trigonométricas básicas tan x, cot x, sec x e csc x, e em seguida usar a regra da cadeia para derivar a função composta
f(x)=cotl(3x^2+5r). Para isso vamos precisar dos resultados elementares de derivação e da regra da cadeia, que diz que, se g(x)=h(u(x)), então
g'(x)=h'l(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 2

Derivada de tan x. Podemos usar a definição tan x=dfracsin xcos x e a regra do quociente, mas o resultado clássico é
ddxl(tan xr)=sec^2x

Passo 3

Derivada de cot x. De modo análogo, sabendo que cot x=dfraccos xsin x, obtemos
ddxl(cot xr)=-csc^2x

Passo 4

Derivada de sec x. Como sec x=(cos x)^-1 e usando a regra da cadeia,
ddxl(sec xr)=sec xtan x

Passo 5

Derivada de csc x. Similarmente, csc x=(sin x)^-1 e aplicando a cadeia,
ddxl(csc xr)=-csc xcot x

Passo 6

Derivada de f(x)=cotl(3x^2+5r) pela regra da cadeia. Aqui h(u)=cot u e u(x)=3x^2+5, então
h'(u)=-csc^2u e u'(x)=6x
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f'(x)=h'l(u(x)r),u'(x) =-csc^2l(3x^2+5r)cdot 6x =-6x,csc^2l(3x^2+5r)

Resposta

a) dfracddx(tan x)=sec^2x
b) dfracddx(cot x)=-csc^2x
c) dfracddx(sec x)=sec xtan x
d) dfracddx(csc x)=-csc xcot x
e) Para f(x)=cot(3x^2+5):
f'(x)=-6x,csc^2l(3x^2+5r)

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