2.Calcule a integral de linha \int_{C}(x+y) d x+(y-x) d y e C é o segmento de reta entre os pontos (1,1) e (4,2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}(x+y)\,dx + (y - x)\,dy
onde C é o segmento de reta de (1,1) até (4,2).
O conteúdo aqui é integral de linha de uma forma diferencial (P\,dx+Q\,dy). Vamos parametrizar C, obter dx e dy e depois integrar em função do parâmetro.

Passo 2

Parametrizamos o segmento C por
\mathbf r(t) = (x(t),y(t)) = \bigl(1+3t,\;1+t\bigr),\quad t\in[0,1],
pois em t=0 temos (1,1) e em t=1 temos (4,2).

Passo 3

Computamos as derivadas em relação a t:
dx = x'(t)\,dt = 3\,dt, \qquad dy = y'(t)\,dt = 1\,dt.

Passo 4

Expressamos P e Q ao longo da curva:
P(x,y)=x+y \implies P(t)=(1+3t)+(1+t)=2+4t,
Q(x,y)=y-x \implies Q(t)=(1+t)-(1+3t)=-2t.
Logo a forma fica
P\,dx+Q\,dy = (2+4t)\cdot3\,dt +(-2t)\cdot1\,dt = (6 +12t -2t)\,dt = (6+10t)\,dt.

Passo 5

Integramos em t de 0 a 1:
\int_{C}(x+y)\,dx+(y-x)\,dy = \int_{0}^{1}(6+10t)\,dt = \Bigl[6t + 5t^{2}\Bigr]_{0}^{1} = 6 + 5 = 11.

Resposta

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