1.Calcule a integral de linha \int_{C}\left(x^{2}+3 y\right) d x+\left(y^{2}+2 x\right) d y ,onde a curva C é definida por
C=\left\{\begin{array}{c}x=t \\\ y=t^{2}+1\end{array}\right. no intervalo 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\bigl(x^{2}+3y\bigr)\,dx \;+\;\bigl(y^{2}+2x\bigr)\,dy
ao longo da curva C dada pela parametrização
x(t)=t,\quad y(t)=t^{2}+1,\quad 0\le t\le1.
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial não conservativo, que faremos usando parametrização.

Passo 2

Substituímos a parametrização no diferencial:
dx = x'(t)\,dt = dt, \qquad dy = y'(t)\,dt = 2t\,dt.

Passo 3

Calculamos P(t)=x(t)^{2}+3y(t) e Q(t)=y(t)^{2}+2x(t):
P(t) = t^{2} + 3\bigl(t^{2}+1\bigr) = 4t^{2}+3,
Q(t) = \bigl(t^{2}+1\bigr)^{2} + 2t = t^{4} +2t^{2} +1 +2t.
Logo a integral fica
\int_{0}^{1}\Bigl[P(t)\,dx + Q(t)\,dy\Bigr] = \int_{0}^{1}\Bigl[(4t^{2}+3)\cdot 1 \;+\; (t^{4}+2t^{2}+1+2t)\cdot(2t)\Bigr]dt.
Simplificando o integrando:
(4t^{2}+3) + 2t\bigl(t^{4}+2t^{2}+1+2t\bigr) =2t^{5}+4t^{3}+8t^{2}+2t+3.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{1}2t^{5}\,dt = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},\quad \int_{0}^{1}4t^{3}\,dt = 1,\quad \int_{0}^{1}8t^{2}\,dt = \frac{8}{3},
\int_{0}^{1}2t\,dt = 1,\quad \int_{0}^{1}3\,dt = 3.
Somando tudo:
\frac{1}{3} + 1 + \frac{8}{3} + 1 + 3 = \Bigl(\frac{1}{3}+\frac{8}{3}\Bigr) + (1+1+3) = 3 + 5 = 8.

Resposta

O valor da integral de linha é 8.

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