3.Calcule \int_{C}(x+y) d x+z d y+(y-z) d z onde C é a reta que passa pelos pontos (1,2,3) e (2,-1,4)

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C}(x+y)\,dx \;+\; z\,dy \;+\;(y-z)\,dz
onde C é o segmento de reta que une os pontos (1,2,3) e (2,-1,4).
Para resolver, vamos parametrizar C por um parâmetro t\in[0,1], calcular dx, dy, dz em função de dt e substituir na integral.

Passo 2

Uma parametrização afim de C é
x(t)=1+t,\quad y(t)=2-3t,\quad z(t)=3+t,\qquad 0\le t\le1.

Passo 3

Diferenciando em relação a t, obtemos
dx = x'(t)\,dt = 1\,dt,\quad dy = y'(t)\,dt = -3\,dt,\quad dz = z'(t)\,dt = 1\,dt.

Passo 4

Em função de t, temos
x+y = (1+t)+(2-3t)=3-2t, \quad z=3+t, \quad y-z=(2-3t)-(3+t)=-1-4t.
Logo o integrando se torna
(x+y)\,dx + z\,dy + (y-z)\,dz =(3-2t)\,dt + (3+t)(-3\,dt)+(-1-4t)\,dt =(-7-9t)\,dt.

Passo 5

Agora basta integrar em t de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(-7-9t)\,dt =\Bigl[-7t-\tfrac{9}{2}t^2\Bigr]_{0}^{1} =-7-\tfrac{9}{2} =-\tfrac{23}{2}.

Resposta

-\tfrac{23}{2}

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