Use a Definição de Área, tomando x_{k}^{*} como (i) a extremidade esquerda de cada subintervalo e (ii) a extremidade direita de cada subintervalo, para encontrar a área sob a curva y=f(x) acima do intervalo especificado.
f(x)=4-\frac{1}{4} x^{2},[0,3]

Passo 1

O enunciado pede a área sob a curva y=f(x)=4-\tfrac14x^2 no intervalo [0,3] usando a definição de área como limite de somas de Riemann. Vamos particionar [0,3] em n subintervalos iguais, cada um de largura \Delta x, e então tomar x_k^* como extremidade esquerda e depois como extremidade direita para calcular os dois casos.

Passo 2

Partição em n subintervalos dá
\Delta x = \frac{3-0}{n} = \frac{3}{n}.
(i) Para extremidade esquerda, x_k^L=(k-1)\Delta x. A soma de Riemann é
S_L = \sum_{k=1}^{n} f(x_k^L)\,\Delta x = \sum_{k=1}^{n}\Bigl(4-\tfrac14(x_k^L)^2\Bigr)\Delta x.
Separamos em duas somas:
S_L = \sum_{k=1}^n 4\,\Delta x \;-\;\tfrac14\sum_{k=1}^n (x_k^L)^2\,\Delta x.

Passo 3

Calculamos cada parte:
  1. \displaystyle \sum_{k=1}^n 4\,\Delta x = 4\bigl(n\,\Delta x\bigr)=4\cdot3=12. 2. Como x_k^L=(k-1)\Delta x,
\sum_{k=1}^n (x_k^L)^2\,\Delta x = \sum_{k=1}^n \bigl((k-1)\Delta x\bigr)^2\,\Delta x = (\Delta x)^3\sum_{k=1}^n (k-1)^2.
E sabemos que
\sum_{k=1}^n (k-1)^2 = \sum_{j=0}^{n-1} j^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.
Logo,
\sum_{k=1}^n (x_k^L)^2\,\Delta x = \Bigl(\tfrac{3}{n}\Bigr)^3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.
Assim,
S_L = 12 -\tfrac14\Bigl(\tfrac{27}{n^3}\Bigr)\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.

Passo 4

Tomamos o limite n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_L =12 -\tfrac14\cdot\frac{27}{6}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)n(2n-1)}{n^3} =12 -\tfrac14\cdot\frac{27}{6}\cdot 2 =12-\frac{27}{12}\cdot2 =12-\frac{27}{6} =12-\frac{9}{2} =\frac{24-9}{2} =\frac{15}{2} =\frac{39}{4}.

Passo 5

(ii) Para extremidade direita, x_k^R=k\Delta x. O procedimento é análogo:
S_R = \sum_{k=1}^n\Bigl(4-\tfrac14(k\Delta x)^2\Bigr)\Delta x =12 -\tfrac14(\Delta x)^3\sum_{k=1}^n k^2,
com \displaystyle\sum_{k=1}^n k^2=\tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}. Seguindo passos idênticos, chega-se ao mesmo limite:
\lim_{n\to\infty}S_R=\frac{39}{4}.

Resposta

(i) \displaystyle A=\frac{39}{4}.
(ii) \displaystyle A=\frac{39}{4}.

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