e
.
b) Mostre que a solução no espaço de Laplace, isto é,
é dada por:
,
.
b) Mostre que a solução no espaço de Laplace, isto é,
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial de 2ª ordem com amortecimento:
com condições iniciais
O que a gente vai usar é a transformada de Laplace para converter a equação em algo algébrico em
e daí isolar
. Precisamos lembrar das fórmulas:
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação original:
- Em
vira
2) Em
- Em
vira
Somando tudo e igualando a zero:
Passo 3
Agora a gente junta todos os termos que têm
e deixa os termos com
do outro lado:
Ou seja,
Passo 4
A gente sabe que para um sistema subamortecido define-se
e nota que
No numerador, somamos
, mas é mais elegante dividir assim:
Logo
Resposta
Portanto a solução no espaço de Laplace fica