d^2d t^2 x(t)+2 gamma dd t x(t)+omega0^2 x(t)=0
com x(0)=x0 e x^prime(0)=v0.
b) Mostre que a solução no espaço de Laplace, isto é, x(s) é dada por:
x(s)=x0 s+gamma(s+gamma)^2+b^2+(v0+gamma x0) 1(s+gamma)^2+b^2,
com b^2=omega0^2-gamma^2.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial de 2ª ordem com amortecimento:
d^2d t^2 x(t) + 2gamma,dd t x(t) + omega0^2,x(t) = 0
com condições iniciais
x(0)=x0, x'(0)=v0
O que a gente vai usar é a transformada de Laplace para converter a equação em algo algébrico em s e daí isolar X(s)=Lx(t). Precisamos lembrar das fórmulas:
  1. Lx'(t) = s,X(s) - x(0)
  2. Lx''(t) = s^2,X(s) - s,x(0) - x'(0)

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação original:
  1. Em dfracd^2dt^2x(t) vira
Lx'' = s^2 X(s) - s,x0 - v0
2) Em 2gamma,dfracddtx(t) vira
2gamma,Lx' = 2gammal(s,X(s) - x0r)
  1. Em omega0^2,x(t) vira
omega0^2,Lx = omega0^2,X(s)
Somando tudo e igualando a zero:
l(s^2 X(s) - s x0 - v0r) + 2gammal(sX(s) - x0r) + omega0^2 X(s) = 0

Passo 3

Agora a gente junta todos os termos que têm X(s) e deixa os termos com x0,,v0 do outro lado:
X(s)l(s^2 + 2gamma s + omega0^2r) = s,x0 + v0 + 2gamma,x0
Ou seja,
X(s) = s,x0 + v0 + 2gamma,x0s^2 + 2gamma s + omega0^2

Passo 4

A gente sabe que para um sistema subamortecido define-se
b^2 = omega0^2 - gamma^2,
e nota que
s^2 + 2gamma s + omega0^2 = (s+gamma)^2 + (omega0^2 - gamma^2) = (s+gamma)^2 + b^2
No numerador, somamos s,x0 + 2gamma,x0 = x0,(s+2gamma), mas é mais elegante dividir assim:
s,x0 + v0 + 2gamma x0 = x0,(s+gamma) + (v0 + gamma x0)
Logo
X(s) = x0,(s+gamma) + (v0 + gamma x0)(s+gamma)^2 + b^2

Resposta

Portanto a solução no espaço de Laplace fica
boxed X(s) ;=; x0,s+gamma(s+gamma)^2+b^2 ;+; l(v0+gamma x0r),1(s+gamma)^2+b^2 com b^2=omega0^2-gamma^2

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