x(s)=x0 s+gamma(s+gamma)^2+b^2+(v0+gamma x0) 1(s+gamma)^2+b^2,
com b^2=omega0^2-gamma^2. No caso criticamente amortecido, temos b^2=0, isto é omega0^2=gamma^2.
b) Qual é a interpretação física dessa solução?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala da transformada de Laplace de um oscilador harmônico amortecido
x(s)=x0,s+gamma(s+gamma)^2+b^2+l(v0+gamma x0r),1(s+gamma)^2+b^2,
com
b^2=omega0^2-gamma^2
No caso criticamente amortecido, a gente impõe , ou seja .
Conteúdo: oscilador harmônico amortecido, transformada de Laplace e classificação dos regimes de amortecimento.
O que precisamos: entender o que significa “raiz dupla” no polinômio característico e como isso reflete no comportamento de .

Passo 2

Teoria básica do amortecimento:
A equação do movimento é
m,x'' + c,x' + k,x = 0,
onde normalmente definimos
r^2 + 2gamma,r + omega0^2 = 0, e r = -gamma pm raizgamma^2-omega0^2 = -gamma pm b.
O polinômio característico é
x(t) = (A + B,t),e^-,gamma,t
suas raízes são

- Se : subamortecido (oscilações amortecidas).
- Se : superamortecido (sem oscilações, retorno lento).
- Se : criticamente amortecido, ocorre uma raiz dupla .
Quando temos raiz dupla, a solução no tempo não é da forma , e sim

Passo 3

No nosso caso crítico ( x(t) ;=; l(x0 ;+;(v0+gamma,x0),tr),e^-gamma,t e ), a transformada inversa de Laplace dá:
O que isso significa na prática?
  1. Não tem sinusoide nem “vai e vem”.
  2. Não tem ultrapassagem da posição de equilíbrio (não “passa do zero” e volta).
  3. É justo o limite entre oscilar e simplesmente decair: volta ao repouso o mais rápido possível sem balançar.
Esse é o famoso “critically damped” dos livros em inglês. Em aplicações reais, por exemplo, amortecedores de porta ou de carro costumam ser projetados para esse regime: assim a porta fecha rápido sem bater e o carro volta ao repouso sem solavancos.

Resposta

A solução é exatamente a do oscilador criticamente amortecido: não há oscilações nem overshoot, e o sistema retorna ao equilíbrio no menor tempo possível sem ultrapassar a posição de repouso.

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