,
. No caso criticamente amortecido, temos
, isto é
.
b) Qual é a interpretação física dessa solução?
b) Qual é a interpretação física dessa solução?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala da transformada de Laplace de um oscilador harmônico amortecido
com
No caso criticamente amortecido, a gente impõe
, ou seja
.
Conteúdo: oscilador harmônico amortecido, transformada de Laplace e classificação dos regimes de amortecimento.
O que precisamos: entender o que significa “raiz dupla” no polinômio característico e como isso reflete no comportamento de .
Conteúdo: oscilador harmônico amortecido, transformada de Laplace e classificação dos regimes de amortecimento.
O que precisamos: entender o que significa “raiz dupla” no polinômio característico e como isso reflete no comportamento de
Passo 2
Teoria básica do amortecimento:
A equação do movimento é
A equação do movimento é
onde normalmente definimos
O polinômio característico é
suas raízes são
- Se
- Se
- Se
Quando temos raiz dupla, a solução no tempo não é da forma
, e sim
Passo 3
No nosso caso crítico (
e
), a transformada inversa de Laplace dá:
O que isso significa na prática?
- Não tem sinusoide nem “vai e vem”.
- Não tem ultrapassagem da posição de equilíbrio (não “passa do zero” e volta).
- É justo o limite entre oscilar e simplesmente decair: volta ao repouso o mais rápido possível sem balançar.
Esse é o famoso “critically damped” dos livros em inglês. Em aplicações reais, por exemplo, amortecedores de porta ou de carro costumam ser projetados para esse regime: assim a porta fecha rápido sem bater e o carro volta ao repouso sem solavancos.
Resposta
A solução é exatamente a do oscilador criticamente amortecido: não há oscilações nem overshoot, e o sistema retorna ao equilíbrio no menor tempo possível sem ultrapassar a posição de repouso.