d^2d t^2 x(t)+2 gamma dd t x(t)+omega0^2 x(t)=f(t)
Suponha uma força externa oscilatória, f= f0 cos (omega t), sendo omega a frequência angular da força externa. Uma possível solução é:
x(t)=A e^-gamma t cos (omega0 t+phi)+f0 cos (omega t)raiz(omega0^2-omega^2)^2+4 gamma^2 omega^2
a) Intuitivamente, qual seria o comportamento desse sistema com o tempo?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um oscilador harmônico amortecido e forçado, cuja equação é
d^2xdt^2 + 2gamma dxdt + omega0^2 x = f0 cos(omega t)
Eles já deram uma solução geral:
x(t) = A e^-gamma tcos(omega0 t + phi) ;+; f0cos(omega t)raiz(omega0^2 - omega^2)^2 + 4gamma^2omega^2
Conteúdo da matéria: equações diferenciais de 2º ordem, amortecimento e regime estacionário.
O que vamos precisar: entender as duas parcelas da solução – a parte “livre” (transiente) e a parte “forçada” (regime permanente) – e ver o que cada uma faz quando cresce.

Passo 2

Olha só a solução em dois pedaços:
  1. é a solução homogênea.
    • Teoria: quando você resolve a equação sem forçar ( ), aparece esse termo que decai exponencialmente por causa do fator .
    • Intuição: é a “vibração livre” que vai morrendo com o tempo por causa do amortecimento .
  2. é a solução particular.
    • Teoria: corresponde ao regime forçado, onde o sistema vibra exatamente na frequência da força externa.
    • Intuição: esse termo não depende de de forma decrescente; ele simplesmente oscila com amplitude fixa, determinada pelo denominador.

Passo 3

Juntando tudo:
  • No início ( Xrm amp = f0raiz(omega0^2 - omega^2)^2 + 4gamma^2omega^2 pequeno) o termo transiente pode ser grande e a resposta é uma mistura das duas frequências ( e ).
  • Com o passar do tempo o fator faz o primeiro termo ir a zero.
  • Para sobra só o segundo termo: uma oscilação pura em com amplitude fixa
Se ficar perto de , esse denominador fica pequeno e a amplitude cresce (resonância).

Resposta

Intuitivamente, o sistema começa com uma vibração “livre” que vai decaindo exponencialmente por causa do amortecimento e, depois de um tempo, passa a oscilar apenas com a frequência da força externa , num regime estacionário de amplitude constante (que pode explodir perto da ressonância).

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