Suponha uma força externa oscilatória,
, sendo
a frequência angular da força externa. Uma possível solução é:
a) Intuitivamente, qual seria o comportamento desse sistema com o tempo?
a) Intuitivamente, qual seria o comportamento desse sistema com o tempo?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um oscilador harmônico amortecido e forçado, cuja equação é
Eles já deram uma solução geral:
Conteúdo da matéria: equações diferenciais de 2º ordem, amortecimento e regime estacionário.
O que vamos precisar: entender as duas parcelas da solução – a parte “livre” (transiente) e a parte “forçada” (regime permanente) – e ver o que cada uma faz quando cresce.
O que vamos precisar: entender as duas parcelas da solução – a parte “livre” (transiente) e a parte “forçada” (regime permanente) – e ver o que cada uma faz quando
Passo 2
Olha só a solução em dois pedaços:
-
é a solução homogênea. - Teoria: quando você resolve a equação sem forçar (
), aparece esse termo que decai exponencialmente por causa do fator . - Intuição: é a “vibração livre” que vai morrendo com o tempo por causa do amortecimento
.
- Teoria: quando você resolve a equação sem forçar (
-
é a solução particular. - Teoria: corresponde ao regime forçado, onde o sistema vibra exatamente na frequência
da força externa. - Intuição: esse termo não depende de
de forma decrescente; ele simplesmente oscila com amplitude fixa, determinada pelo denominador.
- Teoria: corresponde ao regime forçado, onde o sistema vibra exatamente na frequência
Passo 3
Juntando tudo:
- No início (
pequeno) o termo transiente pode ser grande e a resposta é uma mistura das duas frequências ( e ). - Com o passar do tempo o fator
faz o primeiro termo ir a zero. - Para
sobra só o segundo termo: uma oscilação pura em com amplitude fixa
Se
ficar perto de
, esse denominador fica pequeno e a amplitude cresce (resonância).
Resposta
Intuitivamente, o sistema começa com uma vibração “livre” que vai decaindo exponencialmente por causa do amortecimento e, depois de um tempo, passa a oscilar apenas com a frequência da força externa
, num regime estacionário de amplitude constante (que pode explodir perto da ressonância).