Em um MHS, se houver uma força de atrito que contraria o movimento (como, por exemplo, a força de resistência do ar) temos um oscilador harmônico amortecido. Nessa situação a frequência de oscilação é menor que no oscilador sem amortecimento, a amplitude da oscilação diminui conforme o tempo passa e a energia mecânica é dissipada. A amplitude de um oscilador amortecido num tempo t qualquer é:
x(t)=x m cdot e^-b t2 m cdot cos (omega t+varphi)
Onde: b é constante de amortecimento e m é massa do oscilador.
Em um oscilador amortecido com m=250 g, k=85 N / m e b =70 g / s, qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício tá pedindo. A gente tem um oscilador harmônico amortecido (MHS com atrito), cuja amplitude em qualquer instante é dada por
x(t)=xm,e^-tfracb,t2mcos(omegad,t+varphi)
onde o que muda em relação ao oscilador ideal é esse fator exponencial que faz a amplitude “murchar” com o tempo.
Conteúdo da matéria: MHS amortecido – decaimento exponencial da amplitude.
O que precisamos fazer:
  1. descobrir o tempo total depois de 20 ciclos (t = 20·T_d),
  2. usar a “envelope” da amplitude A(t)=A0,e^-bt/(2m) para calcular a razão A(t)/A0.

Passo 2

Primeiro, vamos pôr todos os dados em unidades do SI:
  • Massa: m = 250 g = 0,25 kg.
  • Constante de amortecimento: b = 70 g/s = 0,07 kg/s.
  • Constante elástica: k = 85 N/m.

Passo 3

Calcular a pulsação do sistema sem amortecimento,
omega0 = raizkm = raiz850,25 = raiz340 approx 18,44;rad/s
Essa omega0 é a frequência angular do MHS ideal.

Passo 4

Definir o coeficiente de amortecimento gamma (às vezes chamado de razão de amortecimento):
gamma = b2m = 0,072cdot0,25 = 0,070,50 = 0,14;s^-1
É esse gamma que aparece no expoente e^-gamma t e faz a amplitude decair.

Passo 5

Calcular a pulsação do amortecido (aqui pro período),
omegad = raizomega0^2 - gamma^2 = raiz18,44^2 - 0,14^2 approx 18,44;rad/s,
(o gamma^2 é tão pequenininho que praticamente não muda omega0).

Passo 6

Aí a gente acha o período do oscilador amortecido,
Td = 2piomegad approx 2pi18,44 approx 0,341;s
Em 20 ciclos, o tempo total é
t = 20,Td approx 20 times 0,341 = 6,82;s

Passo 7

Agora sim a razão entre a amplitude depois de t e a inicial A0 é só
A(t)A0 = e^-tfracb,t2m = e^-gamma,t = e^-0,14 times 6,82 = e^-0,955 approx 0,38

Resposta

A amplitude após 20 ciclos fica cerca de 38% da amplitude inicial.

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