Em um MHS, se houver uma força de atrito que contraria o movimento (como, por exemplo, a força de resistência do ar) temos um oscilador harmônico amortecido. Nessa situação a frequência de oscilação é menor que no oscilador sem amortecimento, a amplitude da oscilação diminui conforme o tempo passa e a energia mecânica é dissipada. A amplitude de um oscilador amortecido num tempo
qualquer é:
Onde:
é constante de amortecimento e
é massa do oscilador.
Em um oscilador amortecido com
e b
, qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?
Em um oscilador amortecido com
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício tá pedindo. A gente tem um oscilador harmônico amortecido (MHS com atrito), cuja amplitude em qualquer instante é dada por
onde o que muda em relação ao oscilador ideal é esse fator exponencial que faz a amplitude “murchar” com o tempo.
Conteúdo da matéria: MHS amortecido – decaimento exponencial da amplitude.
O que precisamos fazer:
Conteúdo da matéria: MHS amortecido – decaimento exponencial da amplitude.
O que precisamos fazer:
- descobrir o tempo total depois de 20 ciclos (t = 20·T_d),
- usar a “envelope” da amplitude
para calcular a razão .
Passo 2
Primeiro, vamos pôr todos os dados em unidades do SI:
- Massa:
. - Constante de amortecimento:
. - Constante elástica:
.
Passo 3
Calcular a pulsação do sistema sem amortecimento,
Essa
é a frequência angular do MHS ideal.
Passo 4
Definir o coeficiente de amortecimento
(às vezes chamado de razão de amortecimento):
É esse
que aparece no expoente
e faz a amplitude decair.
Passo 5
Calcular a pulsação do amortecido (aqui pro período),
(o
é tão pequenininho que praticamente não muda
).
Passo 6
Aí a gente acha o período do oscilador amortecido,
Em 20 ciclos, o tempo total é
Passo 7
Agora sim a razão entre a amplitude depois de
e a inicial
é só
Resposta
A amplitude após 20 ciclos fica cerca de 38% da amplitude inicial.