Um pêndulo balístico consiste de uma caixa de areia suspensa por uma corda. O projétil penetra na caixa e é absorvido pela areia; o centro de massa da caixa se eleva até uma altura h. Calcule a velocidade do projétil de massa m1, sabendo que a massa da caixa é m2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um pêndulo balístico, que é basicamente uma caixa de areia suspensa por uma corda. Quando um projétil com massa $ m_1 $ atinge a caixa, ele fica preso nela, e o centro de massa da caixa sobe até uma altura $ h $. Nosso objetivo é descobrir qual era a velocidade do projétil antes de bater na caixa, sabendo que a massa da caixa é $ m_2 $.
Para resolver isso, vamos usar dois conceitos principais da física:
  1. Conservação da quantidade de movimento: isso vai nos ajudar a entender o que acontece no momento do impacto entre o projétil e a caixa.
  2. Conservação da energia: isso vai nos ajudar a calcular a altura que a caixa atinge após o impacto.
Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no momento em que o projétil atinge a caixa. Nesse instante, o projétil e a caixa passam a se mover juntos. Como não há forças externas atuando no sistema durante o impacto, a quantidade de movimento total é conservada.
A quantidade de movimento (ou momento linear) é dada pela fórmula:
p = m times v
onde:
- $ p $ é a quantidade de movimento,
- $ m $ é a massa,
- $ v $ é a velocidade.
Antes do impacto, apenas o projétil está em movimento, então a quantidade de movimento total é:
p
onde $ v_0 $ é a velocidade inicial do projétil que queremos encontrar.
Depois do impacto, o projétil e a caixa se movem juntos com uma velocidade comum $ v $. Então, a quantidade de movimento total é:
m
Pela conservação da quantidade de movimento:
v
pantes = m1 times v0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ v $, a velocidade logo após o impacto:
v
Mas ainda não encontramos $ v_0 $. Para isso, precisamos usar a conservação da energia no momento em que a caixa sobe até a altura $ h $.

Passo 4

Quando a caixa e o projétil sobem até a altura $ h $, a energia cinética que eles tinham logo após o impacto se transforma em energia potencial gravitacional.
A energia cinética é dada por:
h
A energia potencial gravitacional é:
Ec = 12 times (m1 + m2) times v^2
onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $).
Pela conservação da energia:
Ep = (m1 + m2) times g times h
g
Podemos simplificar cancelando $ (m_1 + m_2) $ dos dois lados:
approx 9,8 , m/s^2
Ec = Ep
12 times (m1 + m2) times v^2 = (m1 + m2) times g times h

Passo 5

Agora, voltando à equação que encontramos no Passo 2:
v = m1 times v0m1 + m2
Substituímos $ v $ pela expressão que encontramos no Passo 4:
v
Agora, vamos resolver para $ v_0 $:
raiz2 times g times h = m1 times v0m1 + m2
Podemos simplificar:
v0

Resposta

A velocidade inicial do projétil é:
v0 = (1 + m2m1) times raiz2 times g times h

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