Um pêndulo balístico consiste de uma caixa de areia suspensa por uma corda. O projétil penetra na caixa e é absorvido pela areia; o centro de massa da caixa se eleva até uma altura
. Calcule a velocidade do projétil de massa
, sabendo que a massa da caixa é
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um pêndulo balístico, que é basicamente uma caixa de areia suspensa por uma corda. Quando um projétil com massa $ m_1 $ atinge a caixa, ele fica preso nela, e o centro de massa da caixa sobe até uma altura $ h $. Nosso objetivo é descobrir qual era a velocidade do projétil antes de bater na caixa, sabendo que a massa da caixa é $ m_2 $.
Para resolver isso, vamos usar dois conceitos principais da física:
- Conservação da quantidade de movimento: isso vai nos ajudar a entender o que acontece no momento do impacto entre o projétil e a caixa.
- Conservação da energia: isso vai nos ajudar a calcular a altura que a caixa atinge após o impacto.
Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no momento em que o projétil atinge a caixa. Nesse instante, o projétil e a caixa passam a se mover juntos. Como não há forças externas atuando no sistema durante o impacto, a quantidade de movimento total é conservada.
A quantidade de movimento (ou momento linear) é dada pela fórmula:
onde:
- $ p $ é a quantidade de movimento,
- $ m $ é a massa,
- $ v $ é a velocidade.
Antes do impacto, apenas o projétil está em movimento, então a quantidade de movimento total é:
onde $ v_0 $ é a velocidade inicial do projétil que queremos encontrar.
Depois do impacto, o projétil e a caixa se movem juntos com uma velocidade comum $ v $. Então, a quantidade de movimento total é:
Pela conservação da quantidade de movimento:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ v $, a velocidade logo após o impacto:
Mas ainda não encontramos $ v_0 $. Para isso, precisamos usar a conservação da energia no momento em que a caixa sobe até a altura $ h $.
Passo 4
Quando a caixa e o projétil sobem até a altura $ h $, a energia cinética que eles tinham logo após o impacto se transforma em energia potencial gravitacional.
A energia cinética é dada por:
A energia potencial gravitacional é:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , m/s^2 $).
Pela conservação da energia:
Podemos simplificar cancelando $ (m_1 + m_2) $ dos dois lados:
Passo 5
Agora, voltando à equação que encontramos no Passo 2:
Substituímos $ v $ pela expressão que encontramos no Passo 4:
Agora, vamos resolver para $ v_0 $:
Podemos simplificar:
Resposta
A velocidade inicial do projétil é: