d^2d t^2 x(t)+2 gamma dd t x(t)+omega0^2 x(t)=f(t)
Suponha uma força externa oscilatória, f= f0 cos (omega t), sendo omega a frequência angular da força externa. Uma possível solução é:
x(t)=A e^-gamma t cos (omega0 t+phi)+f0 cos (omega t)raiz(omega0^2-omega^2)^2+4 gamma^2 omega^2
d) Discuta o caso de ressonância.

Passo 1

Beleza, a ideia aqui é discutir ressonância naquele oscilador forçado e amortecido:
• Matéria: equação diferencial de segundo grau para um oscilador com amortecimento e força externa.
• O que temos:
– Equação de movimento:
x(t) = A,e^-gamma tcos(omega0 t + phi) ;+; f0cos(omega t)raiz(omega0^2 - omega^2)^2 + 4gamma^2omega^2
– Solução geral (já dada):
X(omega) = f0raiz(omega0^2 - omega^2)^2 + 4gamma^2omega^2
• O que vamos precisar: entender como a “amplitude” da parte forçada
varia com \(\omega\) e achar onde ela fica máxima (resonância).

Passo 2

Primeiro, vamos olhar só para a parte estacionária (o regime permanente), que é
xrm perm(t) ;=; X(omega),cos(omega t), X(omega) = f0raiz(omega0^2 - omega^2)^2 + 4gamma^2omega^2
A teoria aqui é simples: em regime permanente, a resposta do sistema é uma oscilação na mesma frequência da força, e é a amplitude dessa resposta.

Passo 3

Para encontrar ressonância, a gente faz “derivada igual a zero” porque queremos
ddomegal[X(omega)r] ;=; 0 Longrightarrow X(omega) máximo á
Em vez de derivar o quociente direto, dá pra notar que maximizar D(omega) = (omega0^2 - omega^2)^2 + 4gamma^2omega^2 é minimizar o denominador
Então a gente resolve
.

Passo 4

Calculemos
D(omega) = (omega0^2 - omega^2)^2 + 4gamma^2omega^2
Derivando:
dDdomega = 2(omega0^2 - omega^2),(-2omega) + 8gamma^2omega = -4omega(omega0^2 - omega^2) + 8gamma^2omega
Fatorando omegal[-4(omega0^2 - omega^2) + 8gamma^2r] = 0 :
-4(omega0^2 - omega^2) + 8gamma^2 = 0 ;Longrightarrow; omega^2 = omega0^2 - 2gamma^2
A solução boxedomegarm res = raizomega0^2 - 2gamma^2 não interessa pra ressonância, então:
Logo, a frequência de ressonância é

Passo 5

Agora, alguns comentários de amigo:
• Se o amortecimento for pequeno, .
• Quanto menor , maior o pico de . No limite (sistema não amortecido), isso vira “resposta infinita” em – é o famoso fenômeno de ressonância pura.
• Na prática, sempre limita essa amplitude, mas mesmo assim a gente vê um pico bem pronunciado perto de .

Resposta

A ressonância acontece quando a frequência de excitação atinge
omegarm res = raizomega0^2 - 2gamma^2,
pois aí a amplitude do regime estacionário fica máxima. Quanto menor for o amortecimento , mais próximo de e mais pronunciado é o pico de ressonância.

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