Suponha uma força externa oscilatória,
, sendo
a frequência angular da força externa. Uma possível solução é:
d) Discuta o caso de ressonância.
d) Discuta o caso de ressonância.
Passo 1
Beleza, a ideia aqui é discutir ressonância naquele oscilador forçado e amortecido:
• Matéria: equação diferencial de segundo grau para um oscilador com amortecimento e força externa.
• O que temos:
– Equação de movimento:
– Solução geral (já dada):
• Matéria: equação diferencial de segundo grau para um oscilador com amortecimento e força externa.
• O que temos:
– Equação de movimento:
– Solução geral (já dada):
• O que vamos precisar: entender como a “amplitude” da parte forçada
varia com \(\omega\) e achar onde ela fica máxima (resonância).
Passo 2
Primeiro, vamos olhar só para a parte estacionária (o regime permanente), que é
A teoria aqui é simples: em regime permanente, a resposta do sistema é uma oscilação na mesma frequência
da força, e
é a amplitude dessa resposta.
Passo 3
Para encontrar ressonância, a gente faz “derivada igual a zero” porque queremos
Em vez de derivar o quociente direto, dá pra notar que maximizar
é minimizar o denominador
Então a gente resolve
.
Passo 4
Calculemos
Derivando:
Fatorando
:
A solução
não interessa pra ressonância, então:
Logo, a frequência de ressonância é
Passo 5
Agora, alguns comentários de amigo:
• Se o amortecimento for pequeno,
.
• Quanto menor , maior o pico de
. No limite
(sistema não amortecido), isso vira “resposta infinita” em
– é o famoso fenômeno de ressonância pura.
• Na prática, sempre limita essa amplitude, mas mesmo assim a gente vê um pico bem pronunciado perto de
.
• Se o amortecimento
• Quanto menor
• Na prática,
Resposta
A ressonância acontece quando a frequência de excitação atinge
pois aí a amplitude
do regime estacionário fica máxima. Quanto menor for o amortecimento
, mais próximo de
e mais pronunciado é o pico de ressonância.