Dizemos que uma função
é homogênea de grau
, se
, para todo
.
i) Seja
. Mostre que, se
é homogênea de grau
, então
é homogênea de grau
para todo
. Por indução, conclua que, se
é homogênea de grau
, então toda derivada parcial de ordem
é homogênea de grau
.
ii) Seja
uma função homogênea de grau
. Mostre que
satisfaz a relação de Euler:
iii) Calcule
para a função
e obtenha a relação de Euler.
iv) Seja
tal que
, para todo
e
. Mostre que
é da forma
Quais são os valores dos coeficientes
?
(Dica: Use o item i) e o fato de
ser
em torno do zero para mostrar que as derivadas de ordem 2 de
se anulam. Use a fórmula de Taylor com resto de Lagrange ou integral para obter o resultado.)