Dizemos que uma função f: R^n backslash0 R é homogênea de grau k in R, se f(t x)=t^k f(x), para todo t>0.
i) Seja f in C^1(R^n backslash0). Mostre que, se f é homogênea de grau k in R, então partial fpartial xj: R^n backslash0 R é homogênea de grau k-1 para todo j in1, ldots, n. Por indução, conclua que, se f in C^infty(R^n backslash0) é homogênea de grau k, então toda derivada parcial de ordem l in N é homogênea de grau k-l.
ii) Seja f in C^infty(R^n backslash0) uma função homogênea de grau k in R. Mostre que f satisfaz a relação de Euler:
sumj=1^n partial fpartial xj(x) xj=k f(x)
iii) Calcule sumj=1^n partial fpartial xj(x) xj para a função f(x)=lang<= x, xrang<=^k=|x|^2 k e obtenha a relação de Euler.
iv) Seja f in C^infty(R^n) tal que f(t x)=t f(x), para todo t>0 e x in R. Mostre que f é da forma
f(x)=sumj=1^n aj xj
Quais são os valores dos coeficientes aj ?
(Dica: Use o item i) e o fato de f ser C^infty em torno do zero para mostrar que as derivadas de ordem 2 de f se anulam. Use a fórmula de Taylor com resto de Lagrange ou integral para obter o resultado.)

Passo 1

O enunciado trata de funções homogêneas em R^nsetminus0 definidas por
f(tx)=t^k,f(x), t>0,
e pede:
– (i) provar que cada derivada parcial partial fpartial xj é homogênea de grau k-1 e, por indução, que derivadas de ordem l são de grau k-l;
– (ii) deduzir a relação de Euler
sumj=1^npartial fpartial xj(x),xj = k,f(x);
– (iii) aplicar em f(x)=lang<= x,xrang<=^k=|x|^2k;
– (iv) mostrar que, se uma função C^infty em todo R^n satisfaz f(tx)=t,f(x), então f é linear, i.e.\
f(x)=sumj=1^n aj,xj,
e determinar aj.
Vamos usar regra da cadeia, indução e o teorema de Taylor com resto para concluir.

Passo 2

Prova de (i): seja com . Fixe e diferencie em relação a . Pela regra da cadeia, se então
Por outro lado, derivando em obtemos
Igualando as duas expressões segue
ou seja
Logo é homogênea de grau .

Passo 3

Indução para derivadas de ordem l: o caso l=1 já foi feito. Suponha que toda derivada de ordem l seja homogênea de grau k-l. Aplicando o mesmo argumento de cadeia a uma derivada de ordem l, cada vez que diferenciamos reduzimos em 1 o grau de homogeneidade. Assim derivadas de ordem l+1 têm grau (k-l)-1=k-(l+1). Isso fecha a indução.

Passo 4

Prova de (ii) (fórmula de Euler): partimos de
f(tx)=t^k,f(x)
Diferenciando agora em t e usando cadeia,
ddtf(tx) =sumj=1^npartial fpartial xj(tx),xj e ddtl(t^k f(x)r) =k,t^k-1f(x)
Igualando e depois tomando t=1
sumj=1^npartial fpartial xj(x),xj = k,f(x)

Passo 5

Item (iii): seja f(x)=|x|^2k=(sumi xi^2)^k. Então
partial fpartial xj =kl(sumi xi^2r)^k-1cdot 2xj =2k,xj,|x|^2(k-1)
Logo
sumj=1^npartial fpartial xj(x),xj =2k,|x|^2(k-1)sumj=1^n xj^2 =2k,|x|^2k = (2k),f(x),
confirmando a relação de Euler com grau de homogeneidade 2k.

Passo 6

Item (iv): agora com , hence . Pelo item (i), toda derivada de segunda ordem é homogênea de grau . Mas como é num vizinho de , essas segundas derivadas são contínuas em e homogêneas de grau negativo, logo finitas em . A única possibilidade é que elas se anulem identicamente. Assim todas as derivadas de ordem são zero, o que implica que é um polinômio de grau . Pelo teorema de Taylor com resto de Lagrange,
mas para todo obriga . Conclui-se

Resposta

f(x)=sumj=1^n aj,xj, aj =partial fpartial xj(0)

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