Dizemos que uma função
é homogênea de grau
, se
, para todo
.
i) Seja
. Mostre que, se
é homogênea de grau
, então
é homogênea de grau
para todo
. Por indução, conclua que, se
é homogênea de grau
, então toda derivada parcial de ordem
é homogênea de grau
.
ii) Seja
uma função homogênea de grau
. Mostre que
satisfaz a relação de Euler:
iii) Calcule
para a função
e obtenha a relação de Euler.
iv) Seja
tal que
, para todo
e
. Mostre que
é da forma
Quais são os valores dos coeficientes
?
(Dica: Use o item i) e o fato de
ser
em torno do zero para mostrar que as derivadas de ordem 2 de
se anulam. Use a fórmula de Taylor com resto de Lagrange ou integral para obter o resultado.)
i) Seja
ii) Seja
iv) Seja
(Dica: Use o item i) e o fato de
Passo 1
O enunciado trata de funções homogêneas em
definidas por
e pede:
– (i) provar que cada derivada parcial é homogênea de grau
e, por indução, que derivadas de ordem
são de grau
;
– (ii) deduzir a relação de Euler
– (i) provar que cada derivada parcial
– (ii) deduzir a relação de Euler
– (iii) aplicar em
;
– (iv) mostrar que, se uma função em todo
satisfaz
, então
é linear, i.e.\
– (iv) mostrar que, se uma função
e determinar
.
Vamos usar regra da cadeia, indução e o teorema de Taylor com resto para concluir.
Passo 2
Prova de (i): seja com
. Fixe
e diferencie em relação a
. Pela regra da cadeia, se
então
Por outro lado, derivando
em
obtemos
Igualando as duas expressões segue
ou seja
Logo
é homogênea de grau
.
Passo 3
Indução para derivadas de ordem
: o caso
já foi feito. Suponha que toda derivada de ordem
seja homogênea de grau
. Aplicando o mesmo argumento de cadeia a uma derivada de ordem
, cada vez que diferenciamos reduzimos em
o grau de homogeneidade. Assim derivadas de ordem
têm grau
. Isso fecha a indução.
Passo 4
Prova de (ii) (fórmula de Euler): partimos de
Diferenciando agora em
e usando cadeia,
Igualando e depois tomando
dá
Passo 5
Item (iii): seja
. Então
Logo
confirmando a relação de Euler com grau de homogeneidade
.
Passo 6
Item (iv): agora com
, hence
. Pelo item (i), toda derivada de segunda ordem é homogênea de grau
. Mas como
é
num vizinho de
, essas segundas derivadas são contínuas em
e homogêneas de grau negativo, logo finitas em
. A única possibilidade é que elas se anulem identicamente. Assim todas as derivadas de ordem
são zero, o que implica que
é um polinômio de grau
. Pelo teorema de Taylor com resto de Lagrange,
mas
para todo
obriga
. Conclui-se