5.2D Determine as trajetórias ortogonais às seguintes famílias de curvas:
x y=lambda

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas
x,y = lambda
com parâmetro lambda, e pede as trajetórias ortogonais. O conteúdo aqui é de equações diferenciais e geometria diferencial: para achar as trajetórias ortogonais, precisamos
  1. encontrar o declive y' da família dada;
  2. usar que, em cada ponto, o declive da ortogonal é o negativo do recíproco de y';
  3. resolver a equação diferencial resultante.

Passo 2

Começamos diferenciando implicitamente em relação a x a equação
x,y = lambda
Derivando ambos os lados:
ddx(x,y)=ddx(lambda)Longrightarrow x,y' + y = 0
Logo o declive da família original é
y' = -yx

Passo 3

Duas curvas são ortogonais quando, em cada ponto de interseção, os declives m1 e m2 satisfazem m1 m2 = -1. Aqui m1 = y' = -y/x, então o declive m2 da ortogonal é
m2 = -1m1 = -1-tfracyx = xy
Portanto as trajetórias ortogonais satisfazem a equação diferencial
dydx = xy

Passo 4

Resolvemos por separação de variáveis:
y,dy = x,dx
Integrando ambos os lados:
integral y,dy = integral x,dx Longrightarrow y^22 = x^22 + C
Multiplicando por 2, obtemos a família geral das ortogonais:
y^2 = x^2 + C' Longrightarrow y^2 - x^2 = C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

As trajetórias ortogonais à família x,y=lambda são dadas pela região de curvas
y^2 - x^2 = C,
com C constante.

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