5.2D Determine as trajetórias ortogonais às seguintes famílias de curvas:
Passo 1
O enunciado nos dá a família de curvas
com parâmetro
, e pede as trajetórias ortogonais. O conteúdo aqui é de equações diferenciais e geometria diferencial: para achar as trajetórias ortogonais, precisamos
- encontrar o declive
da família dada; - usar que, em cada ponto, o declive da ortogonal é o negativo do recíproco de
; - resolver a equação diferencial resultante.
Passo 2
Começamos diferenciando implicitamente em relação a
a equação
Derivando ambos os lados:
Logo o declive da família original é
Passo 3
Duas curvas são ortogonais quando, em cada ponto de interseção, os declives
e
satisfazem
. Aqui
, então o declive
da ortogonal é
Portanto as trajetórias ortogonais satisfazem a equação diferencial
Passo 4
Resolvemos por separação de variáveis:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por 2, obtemos a família geral das ortogonais:
onde
é constante arbitrária.
Resposta
As trajetórias ortogonais à família
são dadas pela região de curvas
com
constante.