Duas pessoas começam a andar a partir do mesmo ponto. Uma anda para leste a
e a outra anda para norte a
. Quão rápido a distância entre as pessoas está variando após um quarto de hora?
pessoa 2 pessoa 1
Sejam
: distância (em km) da pessoa 2 ao ponto de partida
: distância (em km) da pessoa 1 ao ponto de partida
: distância (em km) entre a pessoa 1 e a pessoa 2
que consideramos funções deriváveis de
(tempo em horas).
Queremos
para
e sabemos que
.
Temos a relação
Derivando em
e cancelando o fator comum 2 obtemos a relação entre taxas:
Como as velocidades de deslocamento das pessoas são constantes obtemos para
,
Assim,
pessoa 2 pessoa 1
que consideramos funções deriváveis de
Queremos
Temos a relação
Passo 1
A gente define
como a distância percorrida para leste,
como a distância para norte e
como a distância entre as duas pessoas. Sabemos que
é a relação de Pitágoras e que
km/h e
km/h. Nosso objetivo é encontrar
em
h.
Passo 2
Como as velocidades são constantes, temos
Para
h,
Passo 3
Aplicando Pitágoras em
:
logo
Passo 4
Derivamos implicitamente a relação
em relação a
, obtendo
Passo 5
Substituindo os valores em
:
Portanto
Resposta
A distância entre as pessoas está aumentando a
km/h aproximadamente
km/h.