(2,0) Duas pessoas começam a andar a partir do mesmo ponto. Uma anda para leste a 10 km / h e a outra anda para norte a 2 km / h. Quão rápido a distância entre as pessoas está variando após um quarto de hora?
pessoa 2 pessoa 1
Sejam
y : distância (em km) da pessoa 2 ao ponto de partida
x : distância (em km) da pessoa 1 ao ponto de partida
z : distância (em km) entre a pessoa 1 e a pessoa 2
que consideramos funções deriváveis de t (tempo em horas).
Queremos d zd t para t=15 min=1 / 4 h e sabemos que d yd t=2, d xd t=10.
Temos a relação
z^2=x^2+y^2
Derivando em t e cancelando o fator comum 2 obtemos a relação entre taxas:
z d zd t=x d xd t+y d yd t
Como as velocidades de deslocamento das pessoas são constantes obtemos para t=1 / 4, (0,5)
l y=2 cdot 1 / 4=1 / 2 x=10 cdot 1 / 4=5 / 2 Rightarrow z^2=(5 / 2)^2+(1 / 2)^2=264 Rightarrow z=raiz262
Assim,
(0,5)
raiz262 d zd t & =52 cdot 10+12 cdot 2=26 d zd t & =2 raiz26 (km / h)

Passo 1

A gente define x(t) como a distância percorrida para leste, y(t) como a distância para norte e z(t) como a distância entre as duas pessoas. Sabemos que
z^2 = x^2 + y^2
é a relação de Pitágoras e que tfracdxdt=10 km/h e tfracdydt=2 km/h. Nosso objetivo é encontrar tfracdzdt em t=tfrac14 h.

Passo 2

Como as velocidades são constantes, temos
x(t)=10t, y(t)=2t
Para t=tfrac14 h,
xl(tfrac14r)=10cdottfrac14=tfrac52, yl(tfrac14r)=2cdottfrac14=tfrac12

Passo 3

Aplicando Pitágoras em t=tfrac14:
z^2 = l(tfrac52r)^2 + l(tfrac12r)^2 = tfrac254 + tfrac14 = tfrac264,
logo
z = raiz262

Passo 4

Derivamos implicitamente a relação
z^2 = x^2 + y^2
em relação a t, obtendo
2z,dzdt = 2x,dxdt + 2y,dydt Longrightarrow z,dzdt = x,dxdt + y,dydt

Passo 5

Substituindo os valores em t=tfrac14:
raiz262,dzdt = 52cdot 10 ;+;12cdot 2 = 25 + 1 = 26
Portanto
dzdt = 26tfracraiz262 = 2raiz26

Resposta

A distância entre as pessoas está aumentando a 2raiz26 km/h aproximadamente =10,2 km/h.

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