Determine, se existir:
lim x 5 (x-5)^2g(x), supondo que lim x 5 g(x)=lim x 5 g^prime(x)=0 e que lim x 5 g^prime prime(x)=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto5(x-5)^2g(x)
sabendo que
limxto5g(x)=0, limxto5g'(x)=0 e limxto5g''(x)=1.
O conteúdo principal é aplicar a regra de l’Hôpital em caso de forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Substituindo x=5 no quociente original, o numerador vira (5-5)^2=0 e o denominador tende a 0. Logo temos a forma indeterminada 0/0 e podemos usar l’Hôpital.

Passo 3

Aplicando l’Hôpital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
ddxl((x-5)^2r)=2(x-5), ddxl(g(x)r)=g'(x)
O limite passa a ser
limxto52(x-5)g'(x)
Ainda ao substituir x=5, o numerador dá 2cdot0=0 e o denominador tende a 0, gerando novamente 0/0. Podemos aplicar l’Hôpital outra vez.

Passo 4

Aplicando l’Hôpital pela segunda vez, derivamos de novo:
ddxl(2(x-5)r)=2, ddxl(g'(x)r)=g''(x)
O limite fica
limxto52g''(x)
Como limxto5g''(x)=1, o valor desse limite é
21=2

Resposta

2

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