Determine o valor de a para que a função
f(x)=cc a x-9, & x<2 2 x^2-1, & x >= 2
seja derivável em x=2.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= a,x-9, & x<2, 2x^2-1, & x>=2,
e pede o valor de a para que f seja derivável em x=2. Para isso precisamos que (i) f seja contínua em 2 e (ii) as derivadas laterais em 2 coincidam.

Passo 2

Aplicando a condição de continuidade em x=2:
limxto2^-f(x)=limxto2^-(a,x-9)=2a-9,
limxto2^+f(x)=f(2)=2cdot2^2-1=8-1=7
Para serem iguais,
2a-9=7 Longrightarrow 2a=16 Longrightarrow a=8

Passo 3

Agora verificamos as derivadas laterais em x=2.
Para x<2,
f'(x)=ddx(a,x-9)=a Longrightarrow limxto2^-f'(x)=a
Para x>=2,
f'(x)=ddx(2x^2-1)=4x Longrightarrow limxto2^+f'(x)=4cdot2=8
Para serem iguais, precisamos de a=8, que coincide com o valor achado pela continuidade.

Resposta

a=8

Exercícios relacionados