m d^2d t^2 x(t)=-beta dd t x(t)-k x(t)+F(t)
Sendo beta e k constantes positivas.
c) Respectivamente, quais devem ser as unidades das constantes beta e k ?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos a equação do oscilador amortecido com força externa:
m,d^2xdt^2 ;=; -beta,dxdt;-;k,x;+;F(t),
onde é massa, e são constantes positivas, e é força.
Conteúdo: análise de unidades (análise dimensional).
O que vamos usar:
  • Unidade de massa: kg
  • Deslocamento : metro (m)
  • Tempo : segundo (s)
  • Força : newton (N), e lembrando .

Passo 2

Teoria rápida: na equação diferencial, todos os termos têm de “combinar” em unidades. Ou seja, , , e devem ter a mesma dimensão de força (N). A gente vai escrever cada termo em unidades e igualar.

Passo 3

Analisando beta = (kg·m/s²)(m/s) = kg·m/s²m/s = kgs :
  • tem unidade kg
  • é aceleração, unidade m/s²
    Logo . Certo.
Agora também precisa dar N.
  • é velocidade, unidade m/s
    Logo ,(m/s) deve ser N, ou seja kg·m/s².
    Para , isolamos:
²²

Passo 4

Agora k = kg·m/s²m = kgs^2 tem que ser N também.
  • tem unidade m
    Logo ,m = kg·m/s².
    Isolando :
²
A gente também chama de N/m.

Resposta

As unidades são:
beta:;kg/s, k:;kg/s^2;(ou;N/m)

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