m d^2d t^2 x(t)=-k x(t) ou d^2d t^2 x(t)+omega0^2 x(t)=0,
sendo omega0=raizkm, com k>0 e m>0. a) Se as condições iniciais são x(0)=x0 e x^prime(0)=v0, use transformada de Laplace para resolver a EDO e obter
x(t)=x0 cos (omega0 t)+v0omega0 sin (omega0 t)

Passo 1

Beleza! O enunciado quer que a gente resolva a EDO
md^2xdt^2 + k,x(t) = 0
ou, usando d^2xdt^2 + omega0^2,x(t) = 0 ,
com as condições iniciais e .
Conteúdo: transformada de Laplace de derivadas.
O que vamos precisar:
  • Definição de .
  • .
  • .
  • Tabelinha de inversa: , .

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação
Lx''(t) + omega0^2,Lx(t) = 0 .
Fazendo l[s^2X(s) - s,x0 - v0r] + omega0^2,X(s) = 0 em cada termo:
Pelo que lembramos:
e .
Substituindo as iniciais , , dá

Passo 3

Agrupando (s^2 + omega0^2),X(s) - s,x0 - v0 = 0 Longrightarrow X(s) = s,x0 + v0s^2 + omega0^2 :

Passo 4

Agora é inverter a transformada. A gente separa em duas frações:
X(s) = x0ss^2+omega0^2 + v01s^2+omega0^2
Pela tabela:
  • x(t) = x0cos(omega0 t) + v0cdot1omega0sin(omega0 t) .
  • .
Logo,

Resposta

boxed x(t)=x0cosl(omega0tr) +v0omega0sinl(omega0tr)

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