m d^2d t^2 x(t)=-beta dd t x(t)-k x(t)+F(t)
Sendo beta e k constantes positivas.
d) Qual é a frequência natural de oscilação desse sistema?

Passo 1

Beleza! A gente tem um sistema massa-mola com amortecimento e força externa, cuja equação diferencial é
m,d^2xdt^2=-beta,dxdt-k,x+F(t),
O conteúdo aqui é equações diferenciais de 2ª ordem para osciladores amortecidos. Para achar a frequência natural de oscilação, vamos:
1) passar pra forma padrão dividindo por m,
2) olhar a parte homogênea (sem F(t)),
3) montar a equação característica e extrair a frequência a partir das raízes complexas.

Passo 2

Primeiro, dividimos tudo por m pra deixar um formato padrão:
d^2xdt^2+betam,dxdt+km,x=F(t)m,
Pra achar a frequência natural a gente foca na parte sem força externa, ou seja
x''+underbracebetam2gamma,x'+underbracekmomega0^2,x=0,
Aqui definimos
gamma=beta2me omega0=raizkm,

Passo 3

Agora montamos a equação característica associada a esse homogêneo:
lambda^2+2gamma,lambda+omega0^2=0,
As raízes são
lambda1,2=-gammapmraizgamma^2-omega0^2,
Quando gamma^2 (caso subamortecido), as raízes são complexas e a solução oscila com frequência dada pelo módulo da parte imaginária:
omegad=raizomega0^2-gamma^2,

Resposta

A frequência natural de oscilação do sistema (amortecida) é
boxedomegad=raizkm-l(beta2mr)^2,

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