Sendo e constantes positivas.
d) Qual é a frequência natural de oscilação desse sistema?
Passo 1
Beleza! A gente tem um sistema massa-mola com amortecimento e força externa, cuja equação diferencial é
O conteúdo aqui é equações diferenciais de 2ª ordem para osciladores amortecidos. Para achar a frequência natural de oscilação, vamos:
1) passar pra forma padrão dividindo por ,
2) olhar a parte homogênea (sem ),
3) montar a equação característica e extrair a frequência a partir das raízes complexas.
Passo 2
Primeiro, dividimos tudo por pra deixar um formato padrão:
Pra achar a frequência natural a gente foca na parte sem força externa, ou seja
Aqui definimos
gamma=beta2me omega0=raizkm,
Passo 3
Agora montamos a equação característica associada a esse homogêneo:
lambda^2+2gamma,lambda+omega0^2=0,
As raízes são lambda1,2=-gammapmraizgamma^2-omega0^2,
Quando gamma^2 (caso subamortecido), as raízes são complexas e a solução oscila com frequência dada pelo módulo da parte imaginária:
omegad=raizomega0^2-gamma^2,
Resposta
A frequência natural de oscilação do sistema (amortecida) é