Sendo
e
constantes positivas.
b) Simplifique a notação da equação para obter:
b) Simplifique a notação da equação para obter:
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado tá pedindo. A gente tem a equação de movimento de um oscilador com amortecimento e forçamento:
Aqui a matéria é equações diferenciais de 2º ordem — mais especificamente modelos de amortecimento e forçamento em física. O que precisamos fazer é “normalizar” essa equação, ou seja, dividir tudo por
Passo 2
Primeiro passo prático: dividir toda a equação original por
. Por que fazemos isso? Assim a derivada segunda de
fica com coeficiente 1, que é mais fácil pra gente trabalhar. Então:
Passo 3
Agora vamos “renomear” cada coeficiente pra chegar na forma padrão. A ideia é dar nomes bonitinhos pra cada termo:
- O coeficiente de
fica2gamma = betam Longrightarrow gamma = beta2m . A forma padrão pedeomega0^2 = km , então a gente definef(t) = F(t)m d^2xdt^2 + 2gamma,dxdt + omega0^2,x = f(t) - O coeficiente de
fica . Em notação padrão isso é , então: - O lado direito,
, vira simplesmente :
Substituindo tudo de uma vez na nossa última forma, a equação vira
Resposta
Definindo
temos finalmente