m d^2d t^2 x(t)=-beta dd t x(t)-k x(t)+F(t)
Sendo beta e k constantes positivas.
b) Simplifique a notação da equação para obter:
d^2d t^2 x(t)+2 gamma dd t x(t)+omega0^2 x(t)=f(t)

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado tá pedindo. A gente tem a equação de movimento de um oscilador com amortecimento e forçamento:
m,d^2xdt^2 = -beta,dxdt - k,x + F(t)
Aqui a matéria é equações diferenciais de 2º ordem — mais especificamente modelos de amortecimento e forçamento em física. O que precisamos fazer é “normalizar” essa equação, ou seja, dividir tudo por d^2xdt^2 + 2gamma,dxdt + omega0^2,x = f(t) e depois definir umas constantes novas ( , e ) para chegar na forma simplificada:

Passo 2

Primeiro passo prático: dividir toda a equação original por underbracem,d^2xdt^2lado esquerdo = -beta,dxdt - k,x + F(t) Longrightarrow d^2xdt^2 = -betam,dxdt ;-;km,x ;+;F(t)m . Por que fazemos isso? Assim a derivada segunda de fica com coeficiente 1, que é mais fácil pra gente trabalhar. Então:

Passo 3

Agora vamos “renomear” cada coeficiente pra chegar na forma padrão. A ideia é dar nomes bonitinhos pra cada termo:
  1. O coeficiente de 2gamma = betam Longrightarrow gamma = beta2m fica omega0^2 = km . A forma padrão pede f(t) = F(t)m , então a gente define d^2xdt^2 + 2gamma,dxdt + omega0^2,x = f(t)
  2. O coeficiente de fica . Em notação padrão isso é , então:
  3. O lado direito, , vira simplesmente :
Substituindo tudo de uma vez na nossa última forma, a equação vira

Resposta

Definindo
gamma = beta2m, omega0^2 = km, f(t) = F(t)m,
temos finalmente
boxed d^2xdt^2 + 2gamma,dxdt + omega0^2,x = f(t)

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