(2EE-2016.1) Calcule os seguintes limites:
lim x 0^+ x^x^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0^+x^x^2. Aqui o conteúdo é limite de função exponencial em que a base tende a 0 e o expoente também tende a 0, gerando uma forma indeterminada do tipo 0^0. Para resolver, vamos usar logaritmo natural e propriedades de limites.

Passo 2

Definimos y = x^x^2 e, para simplificar, tomamos o logaritmo natural:
ln y = lnl(x^x^2r) = x^2ln x
Agora avaliamos limxto0^+x^2ln x. Note que temos um produto em que x^2to0 e ln xto-infty, isto é, a forma indeterminada 0cdot(-infty). Reescrevemos como quociente:
$$
x^2\ln x = \frac{\ln x}{1/x^2}. x^2ln x = ln x1/x^2ô\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac1x, \quad \frac{d}{dx}(1/x2)=-\frac{2}{x3},$$
então
ln xto-infty
Como 1/x^2to+infty, pela continuidade de ddx(ln x)=1x, ddx(1/x^2)=-2x^3, temos limxto0^+x^2ln x = limxto0^+1/x-2/x^3 = limxto0^+l(-tfracx^22r)=0.

Resposta

1

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