Calcule os seguintes limites:
lim x 0^+ x^tg(x^2).

Passo 1

A questão pede o limite limxto0^+ x^tan(x^2). O conteúdo envolvido é cálculo de limite de forma indeterminada do tipo 0^0. Para resolver, vamos usar a transformação exponencial e a expansão assintótica de tan(x^2).

Passo 2

Observamos que, quando xto0^+, a base x tende a 0 e o expoente tan(x^2) também tende a 0. Então temos a forma indeterminada 0^0.
Para lidar com essa indeterminação, definimos y = x^tan(x^2) e trabalhamos com o logaritmo de y. Isso nos permite transformar a potência em produto:
ln y = tan(x^2) cdot ln x

Passo 3

Agora precisamos analisar o limite de ln y quando xto0^+. Note que tan(x^2) admite expansão assintótica para x pequeno:
tan(x^2) sim x^2, xto0
Assim, para xto0^+, temos
tan(x^2) cdot ln x sim x^2 ln x

Passo 4

Sabemos que x^2 ln xto0 quando xto0^+, pois o fator x^2 faz a expressão decair mais rápido que |ln x| cresce. Portanto
limxto0^+ ln y = 0

Passo 5

Como ln yto0, segue que y = e^ln yto e^0=1.

Resposta

1

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