Uma partícula se move com velocidade constante de 10 unidades por segundo, no sentido anti-horário, ao longo da elipse x^24+y^29=1. Encontre o vetor aceleração no instante em que a partícula passa pelo ponto (0,3).

Passo 1

O problema pede o vetor aceleração de uma partícula que se desloca com velocidade escalar constante de 10 u/s, no sentido anti-horário, sobre a elipse x^24+y^29=1, no instante em que ela passa por (0,3). Vamos usar parametrização, derivadas temporais e a condição de módulo de velocidade constante.

Passo 2

Para parametrizar a elipse, tomamos:
x(t)=2cos t, y(t)=3sin t
A velocidade é vec v=dvec rdt=(x',y')=(-2sin t,dot t,;3cos t,dot t). Como o módulo da velocidade é constante igual a 10, temos
10=|vec v|=raiz(-2sin t,dot t)^2+(3cos t,dot t)^2=raiz4sin^2t+9cos^2t;dot t
Assim
dot t=10raiz4sin^2t+9cos^2t

Passo 3

O ponto (0,3) ocorre para x=0, y=3, ou seja cos t=0, sin t=1 t=tfracpi2. Nesse instante
$$\dot t\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\frac{10}{\sqrt{4\cdot1+9\cdot0}}=5.
$$
Como o módulo de dot tl(tfracpi2r)=10raiz4cdot1+9cdot0=5 é constante, não há componente tangencial de aceleração, logo vec v nesse instante.

Passo 4

A aceleração é
$$\vec a=\frac{d\vec v}{dt}=\Bigl(-2\cos t,\dot t^2-2\sin t,\ddot t,;-3\sin t,\dot t^2+3\cos t,\ddot t\Bigr).
vec a=dvec vdt=l(-2cos t,dot t^2-2sin t,ddot t,;-3sin t,dot t^2+3cos t,ddot tr) a_x=-2\cdot0\cdot25-2\cdot1\cdot0=0,\qquad a_y=-3\cdot1\cdot25+3\cdot0\cdot0=-75.
$$

Passo 5

Concluímos que o vetor aceleração no instante considerado é dirigida para baixo, com componentes (0,-75).

Resposta

(0, -75)

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