5.2F Cinco ratos, em uma população estável de 500, são intencionalmente inoculados com uma doença contagiosa para testar uma teoria de disseminação da epidemia, segundo a qual a taxa da população infectada é proporcional ao produto do número de ratos infectados pelo número de ratos sem a doença. Admitindo que essa teoria seja correta, qual o tempo necessário para que a metade da população contraia a doença?
Passo 1
O enunciado descreve uma população total de 500 ratos, dos quais 5 estão infectados no instante inicial. A teoria diz que a taxa de infecção é proporcional ao produto do número de infectados
pelo número de saudáveis
. Isso leva à equação diferencial logística
onde
é a constante de proporcionalidade que não foi dada. Nosso objetivo é achar o tempo
tal que
.
Passo 2
Vamos separar variáveis na equação
Escrevemos
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Logo,
No instante
,
, então
Passo 4
Substituindo
de volta:
ou seja
Para encontrar o tempo em que
, calculemos
Então