5.2F Cinco ratos, em uma população estável de 500, são intencionalmente inoculados com uma doença contagiosa para testar uma teoria de disseminação da epidemia, segundo a qual a taxa da população infectada é proporcional ao produto do número de ratos infectados pelo número de ratos sem a doença. Admitindo que essa teoria seja correta, qual o tempo necessário para que a metade da população contraia a doença?

Passo 1

O enunciado descreve uma população total de 500 ratos, dos quais 5 estão infectados no instante inicial. A teoria diz que a taxa de infecção é proporcional ao produto do número de infectados I pelo número de saudáveis 500 - I. Isso leva à equação diferencial logística
dIdt = k,I,(500 - I),
onde k é a constante de proporcionalidade que não foi dada. Nosso objetivo é achar o tempo t tal que I(t)=250.

Passo 2

Vamos separar variáveis na equação
dIdt = k,I,(500 - I)
Escrevemos
dII,(500 - I) = k,dt
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
1I,(500 - I) = 1500,l(1I + 1500 - Ir)

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral dII(500 - I) = 1500integrall(1I + 1500 - Ir)dI = 1500l(ln|I| - ln|500 - I|r) + C
Logo,
1500lnl(I500 - Ir) = k,t + C
No instante t=0, I(0)=5, então
1500lnl(5500-5r) = C Longrightarrow C = 1500lnl(5495r)

Passo 4

Substituindo C de volta:
1500lnl(I500 - Ir) - 1500lnl(5495r) = k,t,
ou seja
ln!l(I500 - Icdot4955r) = 500,k,t
Para encontrar o tempo em que I=250, calculemos
I500 - IvertI=250 = 250250 = 1 Longrightarrow I500 - Icdot4955 = 99
Então
ln(99) = 500,k,t Longrightarrow t = ln(99)500,k

Resposta

t = ln(99)500,k

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