16pi arctg x underbracex 1 16pi arctg 1=16pi pi4=4
Pelo Teorema do confronto, lim x 1 f(x)=4
Passo 1
O enunciado pede dois limites. Primeiro,
limxto-inftyl(x+raizx^2+pi xr),
que é uma indeterminação do tipo infty-infty e vamos resolver por fatoração e racionalização. Depois, é dado que existe uma função f(x) “espremida” entre
g(x)=x^4-1x-1 e h(x)=16piarctan x
para xneq1, e queremos
limxto1f(x),
que será obtido pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).
Passo 2
Para o primeiro limite, note que, para x<0, temos lvert xrvert=-x. Então
x+raizx^2+pi x =x+raizx^2l(1+pixr) =x+|x|raiz1+pix =x - xraiz1+pix
Fatorando x:
xl(1-raiz1+tfracpixr)
e agora racionalizamos multiplicando por 1+raiz1+pi/x1+raiz1+pi/x: