Determine, se existirem:
lim x -infty(x+raizx^2+pi x).
Quanto a lim x -infty f(x) : para x<0,|x|=-x
x+raizx^2+pi x & =x+raizx^2(1+pi / x) & =x+raizx^2 raiz1+pi / x & =x+|x| raiz1+pi / x & =x-x raiz1+pi / x & =x(1-raiz1+pi / x) & =x(1-raiz1+pi / x) 1+raiz1+pi / x1+raiz1+pi / x & =x(1-(1+pi / x))1+raiz1+pi / x & =-pi1+raiz1+pi / x
Portanto, lim x -infty f(x)=lim x -infty -pi1+raiz1+pi / x=-pi2 Observe que para x neq 1
x^4-1x-1=(x^2-1)(x^2+1)x-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)x-1=(x+1)(x^2+1) underbracex 1 4
e
16pi arctg x underbracex 1 16pi arctg 1=16pi pi4=4
Pelo Teorema do confronto, lim x 1 f(x)=4

Passo 1

O enunciado pede dois limites. Primeiro,
limxto-inftyl(x+raizx^2+pi xr),
que é uma indeterminação do tipo infty-infty e vamos resolver por fatoração e racionalização. Depois, é dado que existe uma função f(x) “espremida” entre
g(x)=x^4-1x-1 e h(x)=16piarctan x
para xneq1, e queremos
limxto1f(x),
que será obtido pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Para o primeiro limite, note que, para x<0, temos lvert xrvert=-x. Então
x+raizx^2+pi x =x+raizx^2l(1+pixr) =x+|x|raiz1+pix =x - xraiz1+pix
Fatorando x:
xl(1-raiz1+tfracpixr)
e agora racionalizamos multiplicando por
1+raiz1+pi/x1+raiz1+pi/x:
x(1-raiz1+tfracpix),1+raiz1+tfracpix 1+raiz1+tfracpix =xl(1-(1+tfracpix)r) 1+raiz1+tfracpix =-pi1+raiz1+tfracpix

Passo 3

Tomando xto-infty nessa expressão, pi/xto0 e
1+raiz1+tfracpix;longrightarrow;1+1=2
Logo
limxto-inftyl(x+raizx^2+pi xr) =limxto-infty-pi1+raiz1+pi/x =-pi2

Passo 4

Para o segundo limite, analisamos as duas funções que “apertam” f(x). Quando xto1:
x^4-1x-1 =l(x+1r)l(x^2+1r) ;longrightarrow;(1+1)(1^2+1)=4,
e
16piarctan x ;longrightarrow; 16piarctan(1) =16pi,pi4=4

Passo 5

Como para xneq1 vale
x^4-1x-1;<=;f(x);<=;16piarctan x,
e ambos os limites das extremas são 4 quando xto1, o Teorema do Confronto garante
limxto1f(x)=4

Resposta

limxto-inftyl(x+raizx^2+pi xr)=-pi2, limxto1f(x)=4

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