Questão 1. Mostra-se que o conjunto
, munido com as operações
-
, definidas, respectivamente por
é um espaço vetorial.
(a)
Qual é o elemento neutro da operação de adição definida acima? Justifique.
(b)
Dado
, determine o oposto de
.
(c)
Exiba uma base e dê a dimensão de
.
(d)
O conjunto
é um subespaço vetorial de
? Em caso afirmativo, exiba uma base para
e dê sua dimensão.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado define em
uma “adição”
e um “produto escalar”
Precisamos usar as definições de espaço vetorial para:
a) achar o elemento neutro para “
”;
b), dado , achar seu oposto (inverso aditivo);
c) exibir uma base de e sua dimensão;
d) verificar se
a) achar o elemento neutro
b), dado
c) exibir uma base de
d) verificar se
é subespaço, e em caso afirmativo dar sua base e dimensão.
Passo 2
Para o neutro aditivo
queremos
Pela definição,
Igualando a
vem
Logo o elemento neutro é
Passo 3
Para o oposto de um vetor
buscamos
tal que
Pela adição dada,
Isto impõe
Portanto o inverso aditivo de
é
Passo 4
Vamos mostrar que
é base de
.
. (Geração) Dado
, procuramos escalares
tais que
Compute
e a soma é
Para igualar a
basta escolher
e depois
então como antes obtemos
. Da segunda coordenada
e da primeira
dá
.
Logo a base tem vetores e
.
Logo a base tem
Passo 5
Defina
.
. (Fechamento em “
”) Se
e
então
E
. Assim
é subespaço.
Escolhendo vemos que
e todo elemento de
é escalar de
pois
Escolhendo
Logo
gera
e é independente, e
.
Resposta
(a) O neutro aditivo é
(b) O inverso de é
(c) Uma base de é
e
(d) Sim, é subespaço; uma base é
e
(b) O inverso de
(c) Uma base de
(d) Sim,