Questão 1. Mostra-se que o conjunto V=R^2, munido com as operações +: V times V V e
  • : R times V V, definidas, respectivamente por
(x, y)+(z, w)=(x+z+1, y+w), e lambda cdot(x, y)=(lambda x+lambda-1, lambda y), forall(x, y),(z, w) in V, forall lambda in R,
é um espaço vetorial.
(a) (0,2) Qual é o elemento neutro da operação de adição definida acima? Justifique.
(b) (0,2) Dado (x, y) in V, determine o oposto de (x, y).
(c) (0,3) Exiba uma base e dê a dimensão de V.
(d) (0,4) O conjunto W=(x-1, x) in V ; x in R é um subespaço vetorial de V ? Em caso afirmativo, exiba uma base para W e dê sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 uma “adição”
(x,y)+(z,w)=(x+z+1,;y+w)
e um “produto escalar”
lambdacdot(x,y)=(lambda x+lambda-1,;lambda y)
Precisamos usar as definições de espaço vetorial para:
a) achar o elemento neutro e para “ +”;
b), dado (x,y), achar seu oposto (inverso aditivo);
c) exibir uma base de V e sua dimensão;
d) verificar se
W=(x-1,x)mid xinR
é subespaço, e em caso afirmativo dar sua base e dimensão.

Passo 2

Para o neutro aditivo e=(e1,e2) queremos
(x,y)+e=(x,y),forall(x,y)in V
Pela definição,
(x,y)+ (e1,e2) = (x+e1+1,;y+e2)
Igualando a (x,y) vem
x+e1+1 = x;Longrightarrow;e1=-1, y+e2 = y;Longrightarrow;e2=0
Logo o elemento neutro é
e = (-1,,0)

Passo 3

Para o oposto de um vetor (x,y) buscamos (u,v) tal que
(x,y)+(u,v)=e=(-1,0)
Pela adição dada,
(x+u+1,;y+v)=(-1,0)
Isto impõe
x+u+1=-1;Longrightarrow;u=-x-2, y+v=0;Longrightarrow;v=-y
Portanto o inverso aditivo de (x,y) é
-(x,y)=(-x-2,,-y)

Passo 4

Vamos mostrar que (1,0),(0,1) é base de V.
1. (Geração) Dado (x,y), procuramos escalares a,b tais que
acdot(1,0)+bcdot(0,1)=(x,y)
Compute
acdot(1,0)=(2a-1,,0), bcdot(0,1)=(b-1,,b),
e a soma é
(2a-1,;0)+(b-1,;b) =(2a+b-1,;b)
Para igualar a (x,y) basta escolher b=y e depois
2a+y-1 = x ;Longrightarrow;a = tfracx-y+12
2. (Independência linear) Se
acdot(1,0)+bcdot(0,1)=e=(-1,0),
então como antes obtemos (2a+b-1,b)=(-1,0). Da segunda coordenada b=0 e da primeira 2a-1=-1 a=0.
Logo a base tem 2 vetores e dim V=2.

Passo 5

Defina W=(x-1,x)mid xinR.
1. (Fechamento em “ +”) Se w(u)=(u-1,u) e w(v)=(v-1,v) então
w(u)+w(v) =(u-1+v-1+1,;u+v) =(u+v-1,;u+v) = w(u+v)in W
2. (Fechamento em escalar)
lambdacdot w(u) =(lambda(u-1)+lambda-1,;lambda u) =(lambda u-1,;lambda u) = w(lambda u)in W
E w(0)=(-1,0)=e. Assim W é subespaço.
Escolhendo u=1 vemos que w(1)=(0,1)neq e e todo elemento de W é escalar de (0,1) pois
lambdacdot(0,1)=(lambda-1,;lambda)=w(lambda)
Logo (0,1) gera W e é independente, e dim W=1.

Resposta

(a) O neutro aditivo é ,(-1,0)
(b) O inverso de ,(x,y) é ;(-x-2,-y)
(c) Uma base de V é (1,0),(0,1) e dim V=2
(d) Sim, W é subespaço; uma base é (0,1) e dim W=1

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