Exercício 21. Mostre que se f é um polinômio de grau n em duas variáveis, então
f(x0+x, y0+y)=sumi+j <= n 1i!j! partial^i+j fpartial x^i partial y^j(x0, y0) x^i y^j
Essa igualdade é exata, sem o termo r(x, y). Use esse fato para provar que se f(x0, y0)=0, então existem polinômios g e h tais que f(x, y)=(x-x0) g(x, y)+(y-y0) h(x, y), isto é, o ideal I=f mid f(x0, y0)=0 tem dois geradores, I=[x-x0, y-y0].

Passo 1

O enunciado afirma dois fatos:
  1. Se f é um polinômio de grau n em (x,y), então sua expansão de Taylor de ordem n em volta de (x0,y0) é exata, ou seja, para u=x-x0 e v=y-y0 vale
f(x0+u,;y0+v) =sumi+j<= n1i!j!,partial^,i+jfpartial x^ipartial y^j(x0,y0),u^iv^j
  1. Usar isso para provar que, se f(x0,y0)=0, então existem polinômios g,h tais que
f(x,y)=(x-x0),g(x,y)+(y-y0),h(x,y),
isto é, o ideal fmid f(x0,y0)=0 é gerado por x-x0 e y-y0.

Passo 2

Mostramos primeiro a fórmula de Taylor exata em duas variáveis recorrendo à expansão em uma variável duas vezes.
– Fixe v e considere umapsto F(u)=f(x0+u,;y0+v). Como f é polinômio de grau <= n em (x,y), F é polinômio de grau <= n em u. Logo, sua expansão de Taylor em u=0 truncada até grau n é exata:
F(u)=sumi=0^n1i!F^(i)(0),u^i =sumi=0^n1i!partial^ifpartial x^i(x0,,y0+v);u^i

Passo 3

Agora cada coeficiente partial^ifpartial x^i(x0,y0+v) é polinômio em v de grau <= n-i, então se expande de novo em Taylor em v=0 até ordem n-i:
partial^ifpartial x^i(x0,y0+v) =sumj=0^,n-i1j!, partial^,i+jfpartial x^ipartial y^j(x0,y0),v^j
Substituindo nessa soma em u obtemos a soma dupla
f(x0+u,y0+v) =sumi=0^nsumj=0^,n-i 1i!,j!, partial^,i+jfpartial x^ipartial y^j(x0,y0);u^iv^j,
ou seja, a expansão de Taylor exata até grau total n.

Passo 4

Agora suponha . Isso anula o termo com na soma. Logo
Separe os termos com e os com :
Cada soma é polinômio em . Definindo
vemos que

Passo 5

Voltando a (x,y) com u=x-x0, v=y-y0, concluímos
f(x,y)=(x-x0),g(x,y)+(y-y0),h(x,y),
com g,h polinômios. Portanto o ideal fmid f(x0,y0)=0 é exatamente l(x-x0,,y-y0r).

Resposta

Vimos que a expansão de Taylor de f em torno de (x0,y0) é exata até grau n, e que o termo constante se anula quando f(x0,y0)=0. Isolando os termos de grau >=1 obtemos
f(x,y)=(x-x0),g(x,y)+(y-y0),h(x,y),
ou seja, o ideal dos polinômios que se anulam em (x0,y0) é gerado por x-x0 e y-y0.

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