Exercício 21. Mostre que se
é um polinômio de grau
em duas variáveis, então
Essa igualdade é exata, sem o termo
. Use esse fato para provar que se
, então existem polinômios
e
tais que
, isto é, o ideal
tem dois geradores,
.
Passo 1
O enunciado afirma dois fatos:
- Se
é um polinômio de grau em , então sua expansão de Taylor de ordem em volta de é exata, ou seja, para e vale
- Usar isso para provar que, se
, então existem polinômios tais que
isto é, o ideal
é gerado por
e
.
Passo 2
Mostramos primeiro a fórmula de Taylor exata em duas variáveis recorrendo à expansão em uma variável duas vezes.
– Fixe e considere
. Como
é polinômio de grau
em
,
é polinômio de grau
em
. Logo, sua expansão de Taylor em
truncada até grau
é exata:
– Fixe
Passo 3
Agora cada coeficiente
é polinômio em
de grau
, então se expande de novo em Taylor em
até ordem
:
Substituindo nessa soma em
obtemos a soma dupla
ou seja, a expansão de Taylor exata até grau total
.
Passo 4
Agora suponha
. Isso anula o termo com
na soma. Logo
Separe os termos com
e os com
:
Cada soma é polinômio em
. Definindo
vemos que
Passo 5
Voltando a
com
,
, concluímos
com
polinômios. Portanto o ideal
é exatamente
.
Resposta
Vimos que a expansão de Taylor de
em torno de
é exata até grau
, e que o termo constante se anula quando
. Isolando os termos de grau
obtemos
ou seja, o ideal dos polinômios que se anulam em
é gerado por
e
.