4.2G Considere os caminhos
e
. Se
é um campo contínuo em uma região contendo esses caminhos, mostre que
De que forma pode-se generalizar esse fato?
Passo 1
O enunciado dá dois caminhos em
:
é dado por
e
é dado por
Queremos mostrar que, para todo campo contínuo
definido numa região que contenha esses dois caminhos, vale
O conteúdo principal aqui é reparametrização de curvas e o fato de que inverter a orientação inverte o sinal da integral de linha.
Passo 2
Observe que definindo
temos
Quando
vai de
a
,
vai de
a
.
Passo 3
Calculemos a derivada de
em função de
. Como
,
Além disso, da mudança de variável segue
.
Passo 4
Agora escrevemos
Fazendo a substituição
, obtemos
e os limites passam de
para
. Logo
Invertendo os limites
, vem
Passo 5
O que fizemos foi justamente mostrar que
é a mesma curva de
com orientação invertida. Em geral, se
é um caminho e
é o mesmo caminho com a parametrização invertida, então vale sempre
Resposta
De modo geral, para qualquer curva
, reparametrizar invertendo a orientação muda o sinal da integral de linha, isto é,
.