4.2G Considere os caminhos gamma1: r(t)=t i+t^3 j,-1 <= t <= 1 e gamma2: r(xi)=(1-xi) i+ (1-xi)^3 j, 0 <= xi <= 2. Se F é um campo contínuo em uma região contendo esses caminhos, mostre que
integralgamma1 F cdot d r=-integralgamma2 F cdot d r
De que forma pode-se generalizar esse fato?

Passo 1

O enunciado dá dois caminhos em R^2:
gamma1 é dado por
vec r1(t) = (t,;t^3), -1<= t<=1,
e gamma2 é dado por
vec r2(xi) = (1-xi,;(1-xi)^3), 0<=xi<=2
Queremos mostrar que, para todo campo contínuo vec F definido numa região que contenha esses dois caminhos, vale
integralgamma1vec Fcdot dvec r ;=;-,integralgamma2vec Fcdot dvec r
O conteúdo principal aqui é reparametrização de curvas e o fato de que inverter a orientação inverte o sinal da integral de linha.

Passo 2

Observe que definindo
t = 1 - xi
temos
vec r2(xi) ;=;(1-xi,;(1-xi)^3) ;=;l(t,;t^3r);=;vec r1(t)
Quando xi vai de 0 a 2, t vai de 1 a -1.

Passo 3

Calculemos a derivada de vec r2 em função de xi. Como t=1-xi,
dvec r2dxi(xi) =ddxil(vec r1(t)r) =vec r1'(t),dtdxi =vec r1'(t),(-1) =-,vec r1'(t)
Além disso, da mudança de variável segue dxi = -,dt.

Passo 4

Agora escrevemos
integralgamma2vec Fcdot dvec r =integral0^2vec Fl(vec r2(xi)r)cdotvec r2'(xi),dxi
Fazendo a substituição ximapsto t=1-xi, obtemos
vec r2(xi)=vec r1(t), vec r2'(xi)=-vec r1'(t), dxi=-,dt,
e os limites passam de xi=0to2 para t=1to-1. Logo
integral0^2vec F(vec r2(xi))cdotvec r2'(xi),dxi =integralt=1^-1vec F(vec r1(t))cdotl(-vec r1'(t)r),(-dt) =integral1^-1vec F(vec r1(t))cdotvec r1'(t),dt
Invertendo os limites integral1^-1=,-integral-1^1, vem
integralgamma2vec Fcdot dvec r =-integral-1^1vec F(vec r1(t))cdotvec r1'(t),dt =-integralgamma1vec Fcdot dvec r

Passo 5

O que fizemos foi justamente mostrar que gamma2 é a mesma curva de gamma1 com orientação invertida. Em geral, se gamma é um caminho e -gamma é o mesmo caminho com a parametrização invertida, então vale sempre
integral-gammavec Fcdot dvec r =-integralgammavec Fcdot dvec r

Resposta

integralgamma1vec Fcdot dvec r =-integralgamma2vec Fcdot dvec r
De modo geral, para qualquer curva gamma, reparametrizar invertendo a orientação muda o sinal da integral de linha, isto é, integral-gammavec Fcdot dvec r=-integralgammavec Fcdot dvec r.

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