4.2F Se e é o ângulo entre o campo e , mostre que:
Passo 1
O enunciado trata de uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Queremos usar a definição de produto escalar e a noção de elemento de arco para reescrever
na forma indicada.
Passo 2
Lembramos que é o vetor tangente à curva e que o seu comprimento é
Passo 3
Por definição do ângulo theta entre vec F e dvec r, vale
vec Fcdot dvec r ;=; |vec F|;l|dvec rr|;costheta
Passo 4
Note que
|vec F| = raizP^2+Q^2+R^2 e l|dvec rr| = ds
Logo,
vec Fcdot dvec r =raizP^2+Q^2+R^2;costheta;ds
Passo 5
Integrando ambos os lados ao longo de c, obtemos
integralcvec Fcdot dvec r =integralcraizP^2+Q^2+R^2;costheta;ds
Resposta
integralcvec Fcdot dvec r =integralcraizP^2+Q^2+R^2costheta,ds