4.2F Se F=P i+Q j+R k e theta é o ângulo entre o campo F e d r, mostre que:
integralc F cdot d r=integralc raizP^2+Q^2+R^2 cos theta d s

Passo 1

O enunciado trata de uma integral de linha de um campo vetorial vec F=Pvec i+Qvec j+Rvec k ao longo de uma curva c. Queremos usar a definição de produto escalar e a noção de elemento de arco para reescrever
integralcvec Fcdot dvec r
na forma indicada.

Passo 2

Lembramos que dvec r é o vetor tangente à curva e que o seu comprimento é
ds = l|dvec rr|

Passo 3

Por definição do ângulo theta entre vec F e dvec r, vale
vec Fcdot dvec r ;=; |vec F|;l|dvec rr|;costheta

Passo 4

Note que
|vec F| = raizP^2+Q^2+R^2 e l|dvec rr| = ds
Logo,
vec Fcdot dvec r =raizP^2+Q^2+R^2;costheta;ds

Passo 5

Integrando ambos os lados ao longo de c, obtemos
integralcvec Fcdot dvec r =integralcraizP^2+Q^2+R^2;costheta;ds

Resposta

integralcvec Fcdot dvec r =integralcraizP^2+Q^2+R^2costheta,ds

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