4.3C Por que os resultados (a) e (b) do Exercício 2.4 não contradizem o Teorema de Green?

Passo 1

O enunciado pergunta por que os resultados dos itens (a) e (b) do Exercício 2.4 não violam o Teorema de Green. O conteúdo envolvido é o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial F=(P,Q) ao duplo integral da quantidade partial Qpartial x-partial Ppartial y sobre a região interior ao caminho fechado. Para aplicar o teorema, é preciso que P e Q tenham derivadas parciais contínuas em um conjunto aberto que contenha toda a região fechada pelo caminho.

Passo 2

Nos resultados do Exercício 2.4 tipicamente temos um campo vetorial da forma
F(x,y)=l(-yx^2+y^2,;xx^2+y^2r),
cujo domínio natural exclui o ponto (0,0). Em (a) escolhe-se um caminho fechado que envolve a origem e se obtém uma integral de linha não nula (por exemplo, 2pi). Em (b) o caminho evita a origem e a integral dá zero.

Passo 3

O Teorema de Green exige que P e Q sejam C^1 (derivadas parciais contínuas) em toda a região simplesmente conexa que contém o interior do caminho fechado. No nosso caso, as derivadas parciais de P e Q não são definidas em (0,0), pois ali o denominador x^2+y^2 se anula.

Passo 4

Em (a) o caminho fechado passa em torno da origem, logo a região interna ao caminho contém (0,0). Como F não está definida nem é C^1 nessa região, a hipótese do Teorema de Green não se satisfaz, portanto não há contradição ao obter integral não nula.

Passo 5

Em (b) o caminho evita a origem, de modo que toda a região interna ao caminho está no domínio onde F é C^1. Assim, o Teorema de Green pode ser aplicado e mostra que a integral de linha fechada é zero, conforme obtido.

Resposta

Os resultados não contradizem o Teorema de Green porque, em (a), o caminho envolve o ponto singular (0,0) onde F não é C^1, violando as hipóteses do teorema, enquanto em (b) o caminho evita essa singularidade e aí o teorema se aplica normalmente, dando integral zero.

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