4.3C Por que os resultados (a) e (b) do Exercício 2.4 não contradizem o Teorema de Green?
Passo 1
O enunciado pergunta por que os resultados dos itens (a) e (b) do Exercício 2.4 não violam o Teorema de Green. O conteúdo envolvido é o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial
ao duplo integral da quantidade
sobre a região interior ao caminho fechado. Para aplicar o teorema, é preciso que
e
tenham derivadas parciais contínuas em um conjunto aberto que contenha toda a região fechada pelo caminho.
Passo 2
Nos resultados do Exercício 2.4 tipicamente temos um campo vetorial da forma
cujo domínio natural exclui o ponto
. Em (a) escolhe-se um caminho fechado que envolve a origem e se obtém uma integral de linha não nula (por exemplo,
). Em (b) o caminho evita a origem e a integral dá zero.
Passo 3
O Teorema de Green exige que
e
sejam
(derivadas parciais contínuas) em toda a região simplesmente conexa que contém o interior do caminho fechado. No nosso caso, as derivadas parciais de
e
não são definidas em
, pois ali o denominador
se anula.
Passo 4
Em (a) o caminho fechado passa em torno da origem, logo a região interna ao caminho contém
. Como
não está definida nem é
nessa região, a hipótese do Teorema de Green não se satisfaz, portanto não há contradição ao obter integral não nula.
Passo 5
Em (b) o caminho evita a origem, de modo que toda a região interna ao caminho está no domínio onde
é
. Assim, o Teorema de Green pode ser aplicado e mostra que a integral de linha fechada é zero, conforme obtido.
Resposta
Os resultados não contradizem o Teorema de Green porque, em (a), o caminho envolve o ponto singular
onde
não é
, violando as hipóteses do teorema, enquanto em (b) o caminho evita essa singularidade e aí o teorema se aplica normalmente, dando integral zero.