Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:
Calcule
, nos seguintes casos:
;
é o círculo
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
onde
e
é o círculo
.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva simples e fechada com uma integral dupla sobre a região interna.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva simples e fechada com uma integral dupla sobre a região interna.
Passo 2
Segundo o Teorema de Green, se
é orientada positivamente e
é o disco
, então
com
e
. Calculamos:
logo o integrando é
Passo 3
Para avaliar
usamos coordenadas polares:
Então
Passo 4
A integral fica
Integramos em
:
Assim
Como
e
, resulta