Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:
Calcule integralgamma F cdot d r, nos seguintes casos:
F=(x^2+y^2) i+3 x y^2 j; gamma é o círculo x^2+y^2=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
ointgammavec Fcdot dvec r
onde vec F=(x^2+y^2),vec i+3xy^2,vec j e gamma é o círculo x^2+y^2=9.
O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva simples e fechada com uma integral dupla sobre a região interna.

Passo 2

Segundo o Teorema de Green, se gamma é orientada positivamente e D é o disco x^2+y^2<=9, então
ointgammaP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
com P(x,y)=x^2+y^2 e Q(x,y)=3xy^2. Calculamos:
partial Qpartial x=3y^2, partial Ppartial y=2y,
logo o integrando é
3y^2-2y

Passo 3

Para avaliar
integral duplaD(3y^2-2y),dA
usamos coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, 0<= r<=3,;0<=theta<=2pi, dA=r,dr,dtheta
Então
3y^2-2y=3r^2sin^2theta-2rsintheta

Passo 4

A integral fica
I=integral0^2piintegral0^3 l(3r^2sin^2theta-2rsinthetar),r,dr,dtheta =integral0^2piintegral0^3 l(3r^3sin^2theta-2r^2sinthetar),dr,dtheta
Integramos em r:
integral0^33r^3,dr=3cdot3^44=2434, integral0^32r^2,dr=18
Assim
I=integral0^2pil(tfrac2434sin^2theta-18sinthetar),dtheta
Como integral0^2pisintheta,dtheta=0 e integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi, resulta
I=2434,pi

Resposta

243pi4

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