8.2H Em cada caso abaixo, calcule o comprimento do arco indicado:
(b) lx=e^t cos t y=e^t sen t, 0 <= t <= 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva paramétrica
x=e^tcos t, y=e^tsin t, 0<= t<=1
O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica e vamos usar a fórmula
L=integral0^1raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2;dt

Passo 2

Calcular as derivadas
dxdt=e^tcos t - e^tsin t = e^t(cos t - sin t),
dydt=e^tsin t + e^tcos t = e^t(sin t + cos t)

Passo 3

Formar a soma dos quadrados e simplificar:
l(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2 =e^2tl[(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2r] =2e^2t
Logo o integrando é
raiz2e^2t=raiz2,e^t

Passo 4

Calcular o comprimento
L=integral0^1raiz2,e^t;dt =raiz2l[e^tr]0^1 =raiz2,(e-1)

Resposta

O comprimento do arco é raiz2,(e-1).

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