Calcule as integrais:
Ie=integral xx^2-2 x+5 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Ie=integral xx^2-2x+5,dx.
O conteúdo é integração de funções racionais, e vamos usar completar o quadrado no denominador e depois separar em integrais mais simples por substituição.

Passo 2

Completar o quadrado no denominador:
x^2-2x+5 = (x-1)^2 + 4

Passo 3

Fazer a mudança de variável
u = x - 1, du = dx,
e expressar x em função de u:
x = u + 1
A integral fica
integral xx^2-2x+5,dx = integral u+1u^2+4,du = integral uu^2+4,du ;+;integral 1u^2+4,du

Passo 4

Calcular integral uu^2+4,du.
Use v = u^2+4, dv = 2u,du, logo
integral uu^2+4,du = 12 integral dvv = 12 lnlvert vrvert = 12 lnl(u^2+4r)

Passo 5

Calcular integral 1u^2+4,du.
Reconhecemos integral 1u^2+a^2,du = 1aarctan!l(tfracuar).
Aqui a=2, então
integral 1u^2+4,du = 12,arctan!l(tfracu2r)

Passo 6

Somando os dois resultados e voltando a x (isto é, u=x-1), temos
Ie = 12 lnl((x-1)^2+4r) + 12 arctan!l(tfracx-12r) + C

Resposta

boxed,integral xx^2-2x+5,dx = 12 lnl((x-1)^2+4r) + 12 arctan!l(tfracx-12r) + C,

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